2014-15_NULEVOJ_TEST_Vvedenie_v_analiz_Proizv

Раздел: ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Тема 5.1: Функция-1. Область определения, чётность (нечётность) функции одной переменной. Элементы поведения основных элементарных функций (чётность и нечётность, периодичность, монотонность, ограниченность): , , , , , , , , , .

1.

Областью определения функции является множество:

1) 2) 3) 4) 5)

4)

2.

Даны функции А: и В:. Нечётными из них (в области их определения) являются:

1) только А 2) только В 3) А и В 4) ни А, ни В

4)

3.

Какие из утверждений для функции на промежутке являются верными:

1) периодическая 2) немонотонная 3) неограниченная 4) нечётная

В ответе указать все верные утверждения.

1)2)4)

4

Выяснить является ли функция четной или нечетной (указать номер правильного ответа):

1) четная 2) нечетная 3) ни четная, ни нечетная

1)

5

Выяснить является ли функция четной или нечетной (указать номер правильного ответа):

1) четная 2) нечетная 3) ни четная, ни нечетная

2)

Тема 5.2: Функция-2. Область определения, множество значений, чётность (нечётность) функции одной переменной. Свойства чётных и нечётных функций.

1.

Областью определения функции является отрезок , где , Ответ записать в виде:

2.

Функция отображает множество на множество:

1) 2) 3) 4) 5)

2)

Тема 5.3: Пределы-1. Пределы рациональных выражений , в том числе: , .

1.

Предел равен:

1) 2) 3) 4) 5)

4)

2.

Если , то значение параметра

3.

Предел равен:

1) 2) 3) 4) 5)

4)

4.

Предел , где (-целое число).

Ответ записать в виде:

5

Предел равен…

Запишите ответ.

1

Тема 5.4: Пределы-2. Пределы иррациональных выражений. Пределы степенно-показательных функций. Пределы тригонометрических выражений, с использованием первого замечательного предела и его следствий.

1.

Предел равен:

1) 2) 3) 4) 5)

5)

2.

Предел , где ( - целое число).

Ответ записать в виде:

4

3.

Предел , где ( - целое число).

Ответ записать в виде:

3

4.

Предел , где ( - целое число).

Ответ записать в виде:

2

Тема 5.5: Пределы-3. Пределы иррациональных выражений. Пределы степенно-показательных функций. Пределы тригонометрических выражений, с использованием первого замечательного предела и его следствий. Пределы выражений, содержащих факториал.

1.

Предел , где (- целое число)

Ответ записать в виде:

12

2.

Предел , где ( - целое число). Ответ записать в виде:

3

3.

Предел равен:

1) 2) 3) 4) 5)

2)

4

Предел , где ( - целое число).

Ответ записать в виде:

4

5

Предел , где ( - целое число).

Ответ записать в виде:

6

Предел, где ( - целое число).

Ответ записать в виде:

3

Тема 5.6: Непрерывность. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции, задаваемой несколькими аналитическими выражениями.

1

Даны функции

A: и В:.

Непрерывными из них в точке являются:

1) только А 2) только В 3) А и В 4) ни А, ни В

3)

2

Дана функция . Точками её разрыва из перечисленных ниже точек являются:

1) 2) 3) 4) 5)

В ответе указать все точки разрыва функции.

2)3)4)

3.

Функция будет непрерывной в точке при значении параметра (-целое число). Ответ записать в виде:

17

4.

Точка является точкой бесконечного разрыва следующих из перечисленных ниже функций:

1) 2) 3) 4)

В ответе указать все функции, для которых - точка бесконечного разрыва.

1)2)4)

5

Даны функции А: , B: :

A: B:

Непрерывными из них в точке являются:

1) только А; 2) только В; 3) А и В; 4) ни А, ни В.

2)

6.

Точка является точкой бесконечного разрыва следующих из перечисленных ниже функций:

1) 2)

3) 4)

В ответе указать все функции, для которых - точка бесконечного разрыва.

1), 2), 4)

7

Точка является точкой бесконечного разрыва следующих из перечисленных ниже функций:

1) 2)

3) 4)

В ответе указать все функции, для которых - точка бесконечного разрыва.

1), 4)

8

Точка является точкой бесконечного разрыва следующих из перечисленных ниже функций:

1) 2)

3) 4)

В ответе указать все функции, для которых - точка бесконечного разрыва.

2)

Тема 5.7: Введение в анализ (теория). Теоретические вопросы (в объёме вопросов к экзамену), в том числе: бесконечно малые и большие функции, их свойства; свойства функций, имеющих конечный предел; сходимость ограниченных и монотонных числовых последовательностей; неопределённые выражения; определение непрерывности функции в точке; определение точек разрыва функции и их классификация; свойства функций непрерывных на отрезке (об ограниченности функции, принятии ею наибольших и наименьших значений). Условие существования вертикальной асимптоты. Взаимосвязь монотонности и ограниченности последовательности с существованием её предела. Взаимосвязь функции, имеющей предел с бесконечно малой функцией.

Раздел: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Тема 6.1: Производная-1. Производная , её значение .

1

Производная функции имеет вид:

1) 2) 3) 4) 5)

2)

2.

Соответствие функций и их производных :

1: 1:

2: 2:

3: 3:

1-1

2-2

3-3

3.

Если , то значение её первой производной , где ( -целое число).

Ответ записать в виде:

11

4.

Если , то значение её первой производной , где (-целое число). Ответ записать в виде:

-7

5.

Если , то значение её первой производной , где ( -целое число). Ответ записать в виде:

-8

6

Если , то значение её первой производной , где ( -целое число). Ответ записать в виде:

1

Тема 6.2: Производная-2. Производная , её значение . Вторая производная ; параметрическая производная .

1.

Если , то выражение её второй производной имеет вид:

1) 2) 3) 4) 5)

2)

2.

Если функции задана в параметрическом виде уравнениями , то её параметрическая производная имеет значение , где ( -целое число). Ответ записать в виде:

1

3

Если , то значение её первой производной , где ( -целое число). Ответ записать в виде:

241

4

Если , то значение её второй производной , где ( -целое число). Ответ записать в виде:

66

5

Соответствие функций и их вторых производных :

1: 2: 3:

1: 2: 3:

В ответе указать пары соответствующих друг другу функций и их вторых производных.

1-1

2-2

3-3

Тема 6.3: Производная-3. Неявная производная; производная степенно-показательной функции; касательная и нормаль неявной и параметрической кривой.

1

Если , то выражение её первой производной имеет вид:

1) 2)

3) 4)

5)

1)

2

Если функция задана неявно уравнением , то значение её первой производной , где ( - целое число).

Ответ записать в виде:

-5

3

Уравнение касательной к графику функции в точке, соответствующей значению параметра , имеет вид , где , ( - целые числа). Ответ записать в виде:

-16,8

4

Уравнение нормали к графику функции, заданной неявно уравнением , в точке имеет вид , где , ( - целые числа). Ответ записать в виде:

14,13

Тема 6.4: Приложения производной-1. Касательная и нормаль. Интервалы монотонности. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Точки локального экстремума. Правило Лопиталя.

1.

Если , то она имеет единственный локальный максимум в точке , где , (, - целые числа).

Ответ записать в виде:

0,3

2.

Предел , где ( - целое число).

Ответ записать в виде:

18

3.

Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид:

1) 2) 3) 4)

3)

4.

Если , то её промежутком убывания является:

1) 2) 3) 4) 5)

3)

5.

Если и - наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , то , где ( - целое число).

Ответ записать в виде:

1

6

Функция на отрезке принимает свои наименьшее значение и наибольшее значение ( - целые числа).

Ответ введите в виде:

0,5

7

Функция на отрезке принимает свои наименьшее значение и наибольшее значение ( - целые числа).

Ответ введите в виде:

0,2

8

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид , где ( - целые числа).

Ответ введите в виде:

-4,6

9

По правилу Лопиталя предел , где ( - целое число). Ответ записать в виде:

10

По правилу Лопиталя предел , где ( - целое число). Ответ записать в виде:

1

Тема 6.5: Приложения производной-2. Наклонные асимптоты. Точки перегиба. Интервалы выпуклости и вогнутости. Уравнения касательной и нормали (с вводом ответа). Правило Лопиталя (с вводом ответа).

1

Наклонной асимптотой графика функции является прямая , где , ( - целые числа).

Ответ записать в виде:

4,0

2

Если , то её график имеет единственный перегиб в точке , где , (, - целые числа).

Ответ записать в виде: ,

0,4

3

Интервалом вогнутости функции является интервал , где , ( - целые числа). Ответ записать в виде:

-1,1

4

По правилу Лопиталя предел равен , где (a, b – целые числа).

Ответ записать в виде: a, b

2,2

Тема 6.7: Производная (теория-1). Теоретические вопросы (в объёме вопросов к экзамену), в том числе: определение производной, её геометрический смысл; условия возрастания и убывания дифференцируемой функции; условия выпуклости и вогнутости дифференцируемой функции; стационарная и критическая точки функции; необходимое и достаточное условия существования локального максимума и минимума функции (через первую и вторую производные); условия существования точек перегиба графика функции; правило Лопиталя (к раскрытию каких неопределённостей непосредственно применимо).

Тема 6.8: Производная (теория-2). Теоретические вопросы (в объёме вопросов к экзамену), в том числе: определение производной, её геометрический смысл; условия возрастания и убывания дифференцируемой функции; условия выпуклости и вогнутости дифференцируемой функции; стационарная и критическая точки функции; необходимое и достаточное условия существования локального максимума и минимума функции (через первую и вторую производные); условия существования точек перегиба графика функции; правило Лопиталя (к раскрытию каких неопределённостей непосредственно применимо). Взаимосвязь понятий (ограниченность, непрерывность, дифференцируемость). Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

1

Функция на отрезке удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Тогда формула Лагранжа имеет место для значения , где ( - целое число). Ответ записать в виде:

5

Тема 7.1: Производная ФНП-1. Первая частная производная. Первый дифференциал.

1.

Частная производная функции в точке равна:

1) 2) 3) 4) 5)

5)

2.

Полный дифференциал функции в точке имеет вид , где Ответ представить в виде:

3/32,3/64

3.

Если , то значение выражения в точке равно:

1) 2) 3) 4) 5)

2)

Тема 7.2: Производная ФНП-2. Первый дифференциал. Первая и вторая частные производные.

1

Для функции частная производная второго порядка имеет вид:

1) 2) 3) 4) 5)

4)

2

Если , то значение её второй частной производной , где ( - целое число). Ответ записать в виде:

4

3

Если , то значение её второй смешанной производной , где - целое число, равное… Ответ записать в виде:

2

Тема 7.3: Производная ФНП-3. Производная по направлению. Полный дифференциал.

1.

Если , то значение её производной в точке по направлению к точке равно:

1) 2) 3) 4) 5)

2)

2

Полный дифференциал функции в точке имеет вид , где . Ответ представить в виде:

-1,-4

3

Производная функции по направлению вектора в точке равна , где - целое число, равное… Ответ записать в виде:

4

Полный дифференциал функции в точке имеет вид , где . Ответ представить в виде:

-60,-17

Тема 7.4: Приложения производной ФНП-1. Локальный экстремум функции . Градиент и его модуль.

1

Функция имеет локальный максимум Ответ представить в виде:

53/4

2

Функция имеет локальный максимум Ответ представить в виде:

-5,-1,1

3

Если , то её локальный минимум , где - целое число, равное… Ответ представить в виде:

4

Модуль градиента функции в точке равен , где ( - целое число). Ответ записать в виде:

Тема 7.5: Приложения производной ФНП-2. Градиент и его модуль. Касательная плоскость для поверхности заданной явно и неявно. Локальный экстремум функции .

1.

Градиентом функции в точке является вектор:

1) 2) 3) 4)

4)

2.

Модуль градиента функции в точке равен , где ( - целое число). Ответ записать в виде:

89

3.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид , где , ( - целые числа). Ответ записать в виде:

4.

Уравнение касательной плоскости к поверхности заданной неявным уравнением в точке имеет вид , где , ( - целые числа). Ответ записать в виде:

Тема 7.6: ФНП (теория-1).Теоретические вопросы (в объёме вопросов к экзамену), в том числе: область определения; формула для дифференциала первого и второго порядков, формула для приближённых вычислений с помощью первого дифференциала; определение стационарной точки; необходимое и достаточное условия существования локального максимума и минимума функции .

1.

Областью определения функции является множество:

1) 2) 3) 4) 5)

2)

Тема 7.7: ФНП (теория-2).Теоретические вопросы (в объёме вопросов к экзамену), в том числе: область определения; формула для дифференциала первого и второго порядков, формула для приближённых вычислений с помощью первого дифференциала; определение стационарной точки; необходимое и достаточное условия существования локального максимума и минимума функции ; уравнение касательной плоскости; взаимосвязь понятий (дифференцируемость, непрерывность, конечные частные производные).