Формулы по векторной алгебре и геометрии

5

Векторная алгебра.

Условие коллинеарности(параллельности) векторов и : или , где .

Орт вектора - вектор , имеющий единичную длину и направление вектора : .

Проекция вектора на вектор - число .

Действия над векторами в координатной форме:

; .

Длина вектора : .

Направляющие косинусы вектора - числа:

, , , при этом .

Координаты вектора , заданного точками и : .

Расстояние между точками и :

.

Координаты точки делящей отрезок пополам: , , .

Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение ненулевых векторов и - число: .

Скалярное произведение обладает свойствами:

1) ; 2) ; 3) ; 4) , где - число;

Для векторов канонического базиса : , , , , , .

Некоторые приложения скалярного произведения:

1) Вычисление угла между векторами и : .

2) Нахождение проекции вектора на вектор : .

3) Вычисление длины вектора :

4) Установление перпендикулярности векторов и : .

Векторное произведение векторов.

Векторное произведение векторов и - вектор , определяемый условиями:

1) ; 2) и ; 3) - правая тройка векторов.

Векторное произведение обладает свойствами:

1) ; 2) 3) ; 4) , где - число;

Для векторов канонического базиса : , , , , , .

Для векторов и , заданных координатами , :

Некоторые приложения векторного произведения:

1) Вычисление площадей треугольника и параллелограмма: .

2) Установление параллельности векторов и : .

Смешанное произведение векторов.

Смешанное произведение упорядоченной тройки векторов ,и - число . Смешанное произведение обладает свойствами:

1) ; 2) ; 3) ; 4) и -компланарны ;

Некоторые приложения смешанного произведения:

1) Вычисление объёмов тетраэдра и параллелепипеда: .

2) Установление компланарности векторов ,и : и - компланарны.

3) Установление принадлежности четырёх точек одной плоскости:

Прямая линия на плоскости.

1) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;

2) - уравнение прямой, проходящей через точку вектору ;

3) - уравнение прямой, проходящей через точку вектору (каноническое уравнение);

4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;

5) - уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит; () – угол прямой осью ; - длина отрезка (со знаком ), отсекаемого прямой на оси ( «», если на положительной части оси и «», если на отрицательной).

6) - уравнение прямой в отрезках, где и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и ( «», если на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до прямой : .

Угол , () между прямыми и : ; .

, если или .

,если или

Координаты точки пересечения прямых и : или .

Кривые на плоскости.

Алгебраическая кривая второго порядка: , где числа - не равны нулю одновременно.

Классификация кривых второго порядка:

1) если , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при ), пустое множество, точку);

2) если , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых);

3) если , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) .

Окружность, эллипс, гипербола и парабола являются невырожденными кривыми второго порядка.

Окружность. Каноническое уравнение окружности: , где радиус окружности, точка -центр окружности.

Нормальное уравнение окружности: . Оно определяет окружность с центром в точке и радиусом .

Эллипс. Каноническое уравнение эллипса: , .

Числа и - большая и малая полуоси эллипса; точки , , , - вершины; оси и - главные оси симметрии; точка - центр симметрии (или просто центр) эллипса; прямоугольник со сторонами , параллельными главным осям симметрии и центром в точке - основной прямоугольник эллипса; точки и , где - фокусы эллипса; векторы и - фокальные радиус-векторы; числа и - фокальные радиусы точки , принадлежащей эллипсу; число () - эксцентриситет эллипса (при эллипс является окружностью); прямые и - директрисы эллипса.

Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы , .

Числа и - действительная и мнимая полуоси гиперболы; точки , - вершинами; оси и - главные оси симметрии; точка - центр симметрии (или просто центр) гиперболы; прямоугольник со сторонами , параллельными главным осям симметрии и центром в точке - основной прямоугольник гиперболы; точки и , где - фокусы гиперболы; векторы и - фокальные радиус-векторы; числа и - фокальные радиусы точки , принадлежащей гиперболе; число () - эксцентриситет гиперболы; прямые и - директрисы гиперболы; прямые и называются асимптотами гиперболы (они проходят через противоположные вершины основного прямоугольника гиперболы).

Парабола. Каноническое уравнение параболы: , .

Число - параметр параболы; ось - ось симметрии; точка – вершина параболы; точка - фокус параболы; вектор - фокальный радиус-вектор; число - фокальный радиус точки , принадлежащей параболе; прямая - директриса параболы.

Плоскость.

1) - общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точку вектору ;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ;

4) - уравнение плоскости в отрезках, где , и - дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на осях , и ( «», если на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Если .

Расстояние от точки до плоскости : .

Угол , () между плоскостями и : .

, если

, если .

Прямая в пространстве.

1) - общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где и - нормальные векторы плоскостей и .

2) - уравнение прямой, проходящей через точку вектору (каноническое уравнение);

3) - уравнение прямой, проходящей через две точки , ;

4) - уравнение прямой, проходящей через точку вектору , (параметрическое уравнение);

Угол , () между прямыми и : .

, если . , если .