Бевз_алг_9 часть

273.З усіх прямокутників, вписаних у дане коло, найбільшу площу має квадрат. Доведіть.

Доведіть для будь яких дійсних значень змінних нерівність (274—278).

276.а) 8а2 + 14ab + 7b2 + 1 > 0; б) 2a2 + 5с2 + 2ас + 1 > 0.

277.а) (ax + by)2 ≤ (а2 + b2) (х2 + у2);

б) (a + x)2 + (b + y)2 ≤ a2 + b2 + x2 + y2 .

283.Один із коренів рівняння х3 + 2x2 – 9x + a = 0 дорівнює –2. Знайдіть решту коренів цього рівняння.

284.Руда містить 60 % заліза. З неї виплавляють чавун, який містить 98 % заліза. Із скількох тонн руди виплавля ють 1000 т чавуну?

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

В а р і а н т I

1°. Розв’яжіть нерівність 3x – 5 < 13. 2. Розв’яжіть систему нерівностей:

3•. Розв’яжіть подвійну нерівність –1 ≤ 2х – 3 < 5.

В а р і а н т II 1°. Розв’яжіть нерівність 4х – 7 < 13. 2. Розв’яжіть систему нерівностей:

3°. Розв’яжіть подвійну нерівність –3 < 2с + 1 ≤ 7.

В а р і а н т III 1°. Розв’яжіть нерівність 5х – 4 > 26. 2. Розв’яжіть систему нерівностей:

3°. Розв’яжіть подвійну нерівність –2 ≤ 3n + 4 < 10.

В а р і а н т IV 1°. Розв’яжіть нерівність 7х + 3 > 38. 2. Розв’яжіть систему нерівностей:

3•. Розв’яжіть подвійну нерівність –5 < 2т – 1 ≤ 7.

Два вирази, сполучені знаком нерівності (<, >, ≤ чи ≥), утворюють нерівність. Нерівність називають числовою, якщо обидві її частини — числові вирази.

Властивості числових нерівностей

Якщо: а < b і b < с, то а < с;

а< b і с — довільне число, то а + с < b + с;

а< b і с > 0, то ас < bс;

а< b і с < 0, то ас > bс;

а< b і c < d, то а + с < b + d;

а< b, c < d і а, b, с, d — числа додатні, то ас < bd.

Нерівності виду а < х < b, а ≤ х < b, а < х ≤ b, а ≤ х ≤ b

називаються подвійними нерівностями. Їх зручно викори стовувати для оцінювання значень величин і наближених обчислень. Адже якщо а < х < b і с < у < d, то

а + с < х + у < b + d, a – d < х – у < b – с, ас < ху < bd, a : d < х : у < b : c.

Дві останні подвійні нерівності правильні за умови, якщо числа а і с — додатні.

2х + 17 < 1, 12 – 3х ≥ 2 — приклади нерівностей з однією змінною x.

Нерівності зі змінними подібні до рівнянь. Розв’язком нерівності зі змінною називається таке число, яке задо вольняє дану нерівність, тобто перетворює її в правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність означає знай ти всі її розв’язки або показати, що їх немає.

Множини розв’язків найчастіше утворюють проміжки. Наприклад, множини розв’язків нерівностей 2х + 7 < 15 і 8 + 3х ≥ 2 — це відповідно проміжки (–∞, 4) та [–2; ∞).

Декілька нерівностей з тією самою змінною утворюють систему нерівностей, якщо треба знайти їх спільні роз в’язки. Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх не існує. Система нерівно стей:

2x +7 < 15,

3x + 8 ≥ 2

має множину розв’язків [–2; 4).

ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ

Визначати, яке з двох чисел більше, а яке — менше, люди вміли ще до нашої ери. В «Основах» Евкліда (ІІІ ст. до н. е.) доведено нерівність, яку тепер прийнято записувати так:

a + b ≥

ab . Тільки під а і b тоді розуміли не довільні додатні

2

числа, а довжини відрізків; доведення пропонувалось суто геометричне і без знаків нерівності.

Архімед (III ст. до н. e.) довів подвійну нерівність, яку те

пер записують так: 3 10 < π < 3 1 .

71 7

Знаки «<» і «>» вперше запровадив англійський матема тик Т. Гарріот у 1631 p. Хоча знаки нерівності запропонова но пізніше від знаку рівності, використовуватися вони поча ли раніше, оскільки друкували їх, користуючись буквою V, а знаку рівності «=» на той час у типографії ще не було.

Знаки нестрогих нерівностей запровадив у 1670 р. англій ський математик Дж. Валліс. Тільки риску він писав над знаком нерівності. Такі знаки використовувалися рідко. У звичайному для нас вигляді знаки «≤» і «≥» запропонував у 1734 р. французький математик П. Бугер.

У сучасній математиці та прикладних науках часто вико ристовують нерівності між середніми, зокрема між середнім арифметичним і середнім квадратичним кількох дійсних чи сел. Наприклад, якщо a1, а2, а3, …, аn — довільні дійсні чис ла, n N, n ≥ 2, то правильна нерівність:

Відомі нерівності, які мають власні назви.

Нерівність між середнім арифметичним і середнім геомет ричним п додатних чисел називають нерівністю Коші:

Огюстен Луї Коші — французький математик, член Па ризької академії наук, Лондонського королівського товари ства та багатьох інших академій наук. Працював у різних

Нерівності використовують і в геометрії. Наприклад, АВС існує тоді і тільки тоді, коли виконуються три нерівності:

АВ < BC + CA, BC < CA + АВ і CA < АВ + BC.

Чи правильно, що система цих трьох нерівностей рівно сильна подвійній нерівності: |AC – CB| < AB < |AC + CB|?

|х + 1| + |х – 2| = 3.

10••. Доведіть нерівність, якщо а > 0, b > 0, с > 0: (а + 2с) (с + 2b) (b + 2а) > 16 2 abc.