Бевз_алг_9 часть

Мал. 30

Наприклад, перерізом обсягів понять прямокутники і ромби є множина квадратів (мал. 30). Об’єднанням множи ни раціональних і ірраціональних чисел є множина дійсних чисел (мал. 31).

Мал. 31

Перерізи та об’єднання множин зручно ілюструвати діаг рамами Ейлера (мал. 30 і 31).

Іноді виникає потреба знайти об’єднання розв’язків двох або більше нерівностей. У таких випадках говорять про сукупність

нерівностей. Її записують за допомогою квадратної дужки:

Розв’язком сукупності нерівностей називається значення змінної, яке задовольняє хоча б одну з даних нерівностей. Розв’язати су# купність нерівностей — означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх не існує. Множиною розв’язків даної сукупності нерівностей є

проміжок (–∞; 4) U (8,5; ∞).

Сукупності використовують для розв’язування деяких видів рівнянь і нерівностей, зокрема нерівностей з модулем.

Будь#яку нерівність виду |М| > а, де М — деякий вираз, можна записати у вигляді сукупності:

M > a,M < −a.

1. Що таке переріз двох числових проміжків?

2. Яким символом позначають переріз двох множин?

3. Що таке об’єднання двох числових проміжків? Яким

символом його позначають?

4. Наведіть приклад інтервалу, відрізка.

5. Наведіть приклади нескінченних числових проміжків.

1. Знайдіть переріз і об’єднання числових проміжків (–6; 8) і (5; ∞).

Р о з в ’ я з а н н я. Зобразимо дані проміжки геометрич но (мал. 32). Їх спільні числа складають проміжок (5; 8). Отже, (– 6; 8) 1 (5; ∞) = (5; 8).

Об’єднання даних числових проміжків: (– 6; 8) U (5; ∞) = (–6; ∞).

2. Розв’яжіть нерівність |5х – 3| ≥ 2.

Р о з в ’ я з а н н я. а) Нерівність |5х – 3| ≥ 2 рівносильна

На малюнку 33 зображено множину чисел, що відповідає цій сукупності і задовольняє задану нерівність.

176.Знайдіть об’єднання числових проміжків:

а) (0; 1) і (0; 2); б) (0; 1) і (0,5; 1); в) (1; 2] і [2; 5); г) (– ∞; 0) і [0; 3).

177.Знайдіть переріз числових проміжків, указаних у попе редньому завданні.

178. Які натуральні числа містяться в числовому проміжку (1; 8)? А в проміжку [1; 8]?

179. Які цілі числа містяться в проміжку:

а) [–3; 4]; б) (–3; 4); в) (–3; 4]; г) [–3; 4)?

180.Чи при всіх значеннях а і b числовий проміжок [а; b] містить у собі проміжок (а; b)?

181.Чому дорівнює переріз проміжків [а; b] і (а; b)? А їх об’єднання?

182.Зобразіть на координатній прямій числовий проміжок:

а) (2; ∞); б) (–∞; 0); в) [–3; ∞); г) (–∞; –4].

183. Запишіть символами числові проміжки, що відповіда ють проміжкам, зображеним на малюнку 34.

184. Зобразіть у вигляді проміжків і на координатній прямій множини чисел, що задовольняють нерівність:

а) х < 3; б) x ≥ –2; в) х ≤ 0; г) х > 7. 185. Яка лінійна нерівність має множину розв’язків:

а) (3; ∞); б) (–2; ∞); в) (–∞; 7]; г) [–3; ∞)?

186. Яка лінійна нерівність має множину розв’язків, зобра жену на малюнку 34?

187.Зобразіть символами і графічно множину дійсних чи сел, які задовольняють подвійну нерівність:

а) –3 < х < 2; б) 0 < х < 4; в) –5 < х < 0. 188. Знайдіть об’єднання і переріз числових проміжків:

189. Перемалюйте таблицю в зошит і занесіть у неї об’єднан ня та перерізи зазначених числових проміжків.

Розв’яжіть нерівність і запишіть відповідь у вигляді проміж ку (191—192).

Зобразіть на координатній прямій множину розв’язків не

198.Запишіть у вигляді подвійної нерівності співвідношен ня між числами а, х і у, якщо:

200. Домовимось довжиною числового проміжка [а; b] нази вати різницю b – а. У скільки разів довжина першого проміжку більша за довжину другого:

201. При яких значеннях х значення виразу 3х + 2 належить

202. При яких значеннях х значення виразу 1,3 – 0,3x нале

Розв’яжіть нерівність і запишіть розв’язок у вигляді про міжку (203—204).

203.a) 5(х + 2) + 2(х – 3) < 3(х – 1) + 4(х + 3); б) 3(2х – 1) + 3(х – 1) ≥ 5(х + 2) + 2(2х + 3);

в) 2(х – 3) + 5(х – 2) > 3(2 – x) – 2(3 – х); г) 9(х – 2) – 2(3х – 2) ≤ 5(х – 2) – 2(х + 5).

Знайдіть об’єднання і переріз множин, що є розв’язками не рівностей (206—207).

208. На малюнку 36 зображено фігуру, складену з п кубиків, поставлених на квадрат 4×4. До якого з проміжків — (57; 67), (50; 69) чи [55; 65] входить число n?

213.Задача aл Кархі. Знайдіть площу прямокутника, ос нова якого вдвічі більша за висоту, а площа чисельно дорівнює периметру.

214.Учні класу обмінялись святковими листівками один з одним. Скільки учнів у класі, якщо для цього потрібно 812 листівок?

§6. СИСТЕМИ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

Іноді виникає потреба визначити спільні розв’язки кіль кох нерівностей. Знайдемо, наприклад, спільні розв’язки двох нерівностей

2х – 3 < 5 і 2 – 3х < 11.

Тобто знайдемо такі значення х, які задовольняють як пер шу, так і другу нерівність. У таких випадках говорять про

систему нерівностей.

Систему нерівностей, як і систему рівнянь, записують за до помогою фігурної дужки:

2x − 3 < 5,

− <

2 3x 11.

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною на зивають значення змінної, яке задовольняє кожну з нерівностей даної системи.

Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх немає.

Розв’яжемо наведену вище систему, поступово замінюючи кожну її нерівність простішою і рівносильною їй:

Р о з в ’ я з а н н я. а) Добуток двох чисел від’ємний, якщо одне з цих чисел від’ємне, а інше — додатне. Отже, розв’язу вання даної нерівності зводиться до розв’язування двох си стем нерівностей:

Перша з цих систем розв’язків не має, множина розв’язків другої системи — числовий проміжок (–5; 2).

б) Значення дробу від’ємне, якщо один з його членів від’ємний, а другий — додатний. Тому розв’язування не рівності б) таке саме, як і розв’язування нерівності а), і відповідь така сама.

В і д п о в і д ь. а) (–5; 2); б) (–5; 2).

а) Нерівність |2x – 3| ≤ 5 і подвійна нерівність –5 ≤ 2x – 3 ≤ 5 рівносильні системі нерівностей:

Її множина розв’язків [–1; 4].

б) Нерівність |x – 1| > 2x – 5 рівносильна сукупності нерівностей:

Дану нерівність задовольняють усі числа з проміжків (–∞; 4) і (–∞; 2). Їх об’єднання (–∞; 4).

В і д п о в і д ь. а) [–1; 4]; б) (–∞; 4).

1. Наведіть приклад системи нерівностей.

2. Що таке розв’язок системи нерівностей з однією

змінною?

3. Що означає «розв’язати систему нерівностей»?

4. Як знайти розв’язок системи, якщо відомі розв’язки кожної нерівності, що входять до неї?