ВМ-2 (3 семестр) / К экзамену / Вопросы к экзамену
.docЭкзаменационная программа по курсу ВМ-2 (3 семестр)
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общие понятия. Геометрическая интерпретация. Задача Коши для ОДУ n-го порядка.
2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными. Интегрирующий множитель.
3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, интегрируемые в квадратурах: линейные уравнения 1-го порядка, уравнение Бернулли, однородные уравнения.
4. Метрическое пространство. Принцип сжатых отображений.
5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения y'=f(x,y).
6. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра. Уравнение Клеро.
7. Понижение порядка, в дифференциальных уравнениях: уравнения, не содержащие x или y, однородные уравнения.
8. Система ОДУ 1-го порядка. Нормальная система. Задача Коши. Сведение ОДУ n-го порядка к системе и обратный переход. Теоремы существования и единственности для нормальных систем и ОДУ n-го порядка ( формулировки).
9. Линейная однородная система дифференциальных уравнений. Теорема о структуре общего решения.
10. Фундаментальная матрица однородной системы и ее свойства. Определитель Вронского.
11. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений. Определитель Вронского. Структура общего решения.
12. Формула Лиувилля-Остроградского для линейных однородных систем и уравнений n-го порядка.
13. Теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы.
14. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
15. Метод вариации постоянных (для линейных неоднородных систем и уравнений n-го порядка).
16. Общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней).
17. Общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай кратных корней).
18. Нахождение частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами методом подбора.
19. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай диагонализируемой матрицы).
20. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай недиагонализируемой матрицы).
21. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.
22. Теорема Ляпунова об устойчивости (формулировка). Случай линейных систем с постоянными коэффициентами.
23. Классификация точек покоя линейных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
24. Краевая задача для линейного ОДУ 2-го порядка.
25. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций (формулировка). Случай
у" + λу = 0, у(0) = 0, y(π) = 0.
26. Уравнения с частными производными. Классификация линейных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристики.
27. Приведение к каноническому виду линейных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами гиперболического типа.
28. Приведение к каноническому виду линейных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами параболического и эллиптического типа.
29. Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера. Физическая интерпретация.
30. Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.
31. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
32. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Интегральная формула Пуассона.
33. Начально-краевая задача для уравнения колебаний струны. Решение методом Фурье.
34. Вывод уравнения теплопроводности и уравнения колебаний струны.
Рекомендуемая литература:
1. Бугров Я.С, Никольский СМ. Высшая математика. Гл. 1,5.
2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
3. Кош л я ков Н.С.. Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики.
4. Фарлоу С. Уравнения с частными производными.
Лектор по ВМ-2 Горелов В.А.