Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

5.Числоі функції. Способи задання функції

.doc
Скачиваний:
90
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
3.23 Mб
Скачать

План-конспект уроку

з алгебри та початків аналізу

для групи Р-11

Тема уроку: Числові функції. Способи задання функції.

Мета уроку: Формування поняття функція, аргумент функції, незалежна функція. Засвоєння учнями правил побудови складних функцій.

І. Мотивація навчання.

Одне з найважливіших понять математики – функція. З її допомогою моделюють і досліджують різноманітні процеси, що відбуваються навколо нас. Повторимо основні відомості про функцію, які ви знаєте з попередніх класів.

II. Засвоєння нового матеріалу.

Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини D відповідає єдине значення змінної у, то таку відповідність на­зивають функцією.

При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, у – залеж­ною змінною, або функцією.

Усі значення, які може набувати аргу­мент функції, називають областю визна­чення даної функції і позначають літерою D.

Множину всіх значень у, яких може набувати функція, називають її областю значень і позначають літерою Е (мал. 12).

Дві функції вважаються різними, якщо в них різні області визначення або правила відповідності. Наприклад, функція у = х2, задана на проміжку [-3; 3], і функція у = х2, задана на R, різні. А задані на R функції у= 1 - х2 і у = (1 -х)(1+х) однакові, оскільки вирази 1 - х2 і (1 - х)(1 + х) тотожно рівні.

Дві функції називаються рівними, якщо їх області визна­чення однакові і в кожній точці області визначення вони мають рівні значення. Рівними є, наприклад, такі пари функцій:

і ; і

Щоб задати функцію, досить зазначити її область визначен­ня і правило відповідності.

Задавати функції можна різними способами. Часто їх задають формулами. Наприклад, відповідність між довжиною а сторони квадрата і його площею в можна задати формулою .

Відповідність між радіусом r кола і довжиною С кола можна задати формулою .

Відповідність між значеннями змінної х і значеннями виразу - 1 можна задати формулою у = 2х - 1.

Задання функції формулою зручне тим, що дає можливість знаходити значення функції для довільного значення аргумен­ту. Таке задання функції досить економне: здебільшого форму­ла займає один рядок.

Якщо функцію задають формулою і нічого не кажуть про область її визначення, то вважають, що ця область - множина всіх значень змінної, при яких формула має зміст. Наприклад, область визначення функції у = 2х - 1 –множина всіх дійсних чисел, а функції - множина всіх дійсних чисел, крім 1, оскільки на 0 ділити не можна.

Задавати функції можна і у вигляді таблиці. Наприклад, функцію у=2х--1 для перших десяти натуральних значень х можна задати у вигляді такої таблиці:

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Тут:

  • область визначення: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

  • область значень: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}.

Табличний спосіб задання функції зручний тим, що для пев­них значень аргументу до таблиці вже занесено відповідні зна­чення функції, тому не треба робити будь-яких обчислень. Не­зручний він тим, що таблиця займає більше місця. До того ж, як правило, містить значення функції не для всіх значень аргумен­ту, а тільки для деяких.

Функцію можна задавати і словесно. Наприклад, якщо кожно­му цілому числу поставити у відповідність його квадрат, то одер­жимо функцію, областю визначення якої є множина цілих чисел, а областю значень - множина натуральних чисел і число нуль.

Часто функції задають у вигляді графіків, побудованих у декартовій системі координат.

Графіком функції називається множина всіх точок коор­динатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргу­менту, а ординати – відповідним значенням функції.

Наприклад, на малюнку 13 зображено графік функції у = 2х - 3, заданої на відрізку [-1; 5], а на малюнку 14 - графік функції на відрізку [1; 6].

Маючи графік функції, можна для будь-якого значення ар­гументу (з області визначення) вказати відповідне значення функції. Для прикладу знайдемо значення функції , якщо х = 4, користуючись побудованим графіком. Шукаємо на осі х точку з абсцисою 4, на графіку знаходимо точку М з абсцисою 4, а на осі ординат - ординату точки М; вона дорівнює 1,5. Отже, користуючись графіком функції, можна скласти таблицю її значень, тобто графік задає функцію.

Графічний спосіб задання функції зручний своєю наочністю. Дивлячись на графік, одразу можна з'ясувати властивості функції, яку він задає. Зокрема, можна встановити такі її характеристики:

  • область визначення і область значень функції; при яких значеннях

  • аргументу значення функції додатні, при яких - від'ємні, при яких дорівнюють нулю;

  • на яких проміжках функція зростає, а на яких спадає.

Існують прилади - термографи, які самі креслять графік тем­ператури. Графіком функції є також кардіограма, накреслена кардіографом (мал. 15). «Читаючи» такий графік, лікар діагностує роботу серця хворого. Взагалі, багатьом фахівцям треба вміти «читати» різні графіки.

Чи задає функцію графік, зображе­ний на малюнку 16? Ні, оскільки на цьому графіку одному значенню аргу­менту х (наприклад, х = 3) від­повідають три різних значення у. А згідно з означенням функцією вва­жається тільки така відповідність, при якій одному значенню аргументу х відповідає єдине значення функції у.

Існує багато різних видів функцій. Деякі з них ви вже знаєте:

y=kx- пряма пропорційність (k 0);

y=kx+b- лінійна функція;

- обернена пропорційність (k 0);

у = ах2 + bх + с — квадратична (або квадратна) функція (a 0).

Графіки найуживаніших функцій подано в таблиці 1.

Щоб будувати графіки складніших функцій, використовують такі правила.

  • Графіки функцій y=f(x) і y=–f(x) симетричні відносно осі х.

  • Щоб побудувати графік функції y=kf(x), де k > 0, треба графік функції y=f(х) розтягнути від осі х у k разів, якщо k > 1, або стиснути його в разів до осі х, якщо 0 < k < 1.

  • Щоб побудувати графік функції у=f(kx), де k > 0, треба графік

функції у = f(x) розтягнути від осі у в – разів, якщо 0 < k < 1, або стиснути його в k разів, якщо k > 1.

  • Щоб одержати графік функції у = f(x) + п, треба графік функції у=f(х) перенести на п одиниць у напрямі осі у, якщо n > 0, або на |n| одиниць у протилежному напрямі, якщо n < 0.

Щоб одержати графік функції у=f(x-т), досить графік функції у = f(x) перенести на m одиниць у напрямі осі х, якщо m > 0, або на |m| одиниць у протилежному напрямі, якщо m < 0.

Виконання вправ

1. Знайдіть значення функції:

a) f(x) = у точках 1; -1; 5;

б) f(x) = у точках 3; 12; 52.

Відповідь: а) f(1) = 2, f(-1) = 0; f(5) = 1,2;

б) f(3) = 0; f(12) = 3; f(52) = 7

2. Функцію задано формулою у = x2 на області визначення D = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте її за до­помогою:

а)таблиці; б)графіка.

Відповідь:

a)

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1

0

1

4

9

б) рис. 1

3. Знайдіть область визначення функції:

а) у = х2 + х3; б) ; в) ; д) ; є) .

Відповідь:

a) D(y) = R; б) D(y) = (-; 3) (3; +); в) D(y) = (-;-2) (-2;0) (0;+);

г) D(y) = (-; -3) (-3; 3) (3; +); д) D(y) = (-;l) (l;4) (4;+);

є) D(y) = [-6;+).

4. Знайдіть область значень функції: а) у = ; б) у = -1.

Відповідь: а) Е(у) = [2; +); б) Е(у) = [1; +).

5. Для функцій, графіки яких зображено на рис. 2, вкажіть D(y) і Е(у).

Рис. 2

Відповідь:

а) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1]; б) D(y) = [-1;1]; E(y) = [-2;2];

в) D(y) = (-1;1); E(у) = R; г) D(y) = R; Е(у) = (-1;1).

6. Які із ліній, зображених на рисунку 3, є графіком функції? Чому?

Відповідь: а); в).

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ І § 4. Числові функції

8

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]