теормех лекция 2
.docВ результате будем иметь:
.
Умножив обе части этого равенства на ds, внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что где - элементарная работа силы Fk получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:
.
Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M0 и M1, найдем окончательно:
.
Уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов).
Из двух основных динамических характеристик, величина является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Момент вектора относительно данного центра О или оси zобозначается или и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора так же, как и момент силы. При этом вектор считается приложенным к движущейся точке. По модулю , где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора (рис.11).
Теорема моментов относительно центра. Найдем для материальной точки, движущейся под действием силы F (рис.26), зависимость между моментами векторов и относительно какой-нибудь неподвижного центра О. В конце было показано, что .
Аналогично .
При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор , а вектор - перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор .
Рис.26
Дифференцируя выражение по времени, получаем:
.
Но , как векторное произведение двух параллельных векторов, a . Следовательно,
или .
В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. Аналогичная теорема имеет место для моментов вектора силы относительно какой-нибудь оси z, в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства на эту ось. Математическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой .