4. Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение зависимости пути s, пройденного телом, от времени t имеет вид s = 4t – 2t² + t³ (s в м, t в с). Найти: 1) зависимость скорости  и ускорения а от времени t; 2) расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через три секунды после начала движения; 3) среднюю скорость и среднее ускорение тела за первые три секунды движения.

Р е ш е н и е. 1) Уравнение движения тела задано траекторным способом. Скорость в этом случае определяется как первая производная от пути по времени , т.е. по формуле ( 2 ), ускорение - как вторая производная от пути по времени или первая производная от скорости по времени, т.е.

(t) = s= 4 - 4t + 3t²; а(t) =  = s = -4 + 6t

2) Найдем путь, скорость и ускорение тела через три секунды после начала движения, подставив время в предыдущие уравнения:

s =43 - 23² + 3³ = 9 м;  = 4 - 43 + 33² = 10 м/с; а = -4 + 63 = 14 м/с².

3) Средняя скорость движения <> определяется соотношением <> = s / t, где t = t₂ -t₁, s = s₂ –s₁. В нашем случае t₁= 0, t₂= 3 с, t = 3 с;

s₁= 0, s₂= 43 - 23² + 3³ = 9 м. Тогда <> = 9 / 3 = 3м/с

Среднее ускорение < a> определяется соотношением < a> =  / t, где t = 3 с, а  = ₂ –_1. Скорость для моментов времени t₂ и t₁ определим из выражения (t) = s = 4 - 4t + 3t², при t₁=0 ₁=4 м/с, при t₂= 3 с ₂= 19 м/с, тогда < a> = (19 – 4) / 3 = 5 м/с².

Пример 2. На рис. 10 показана зависимость скорости от времени для нескольких движений (1, 2, 3). Дать характеристику каждому движению по схеме: тип движения (равномерное, равнозамедленное, равноускоренное); начальная скорость ₀; ускорение a; путь, пройденный телом за все время движения.

Р е ш е н и е. На графике 1 представлено равнозамедленное движение, его начальная скорость ₀ равна 12 м/с, ускорение определяем по формуле a =(  - ₀)/t . Вычисляем:

a = ( 0 - 12) / 6 = -2 м/с².

Путь можно найти двумя способами - по формуле ( 12 ), все данные для которой берем из графика:

s₁= 126 - 26²/2 = 36 м,

или через площадь треугольника под линией зависимости (t)

s₁= 12  6 / 2 = 36 м.

График 2 соответствует равноускоренному движению с начальной скоростью ₀ = 4 м/с. Через 8 с после начала движения скорость возросла до 12 м/с (конечная скорость ), тогда ускорение

a = ( 12 - 4) / 8 = 1 м/с².

Путь определяем по формуле (12)

s₂ = 4  8 + 18²/2 = 64 м.

Очевидно, что площадь трапеции под графиком 2 равна тоже 64 м.

График 3 показывает, что движение в течение первых четырех секунд было равномерным со скоростью  = 12 / 3 = 4 м/с. В последующие четыре секунды движение равнозамедленное с начальной скоростью ₀ = 4 м/с и конечной скоростью, равной 4 м/с. Ускорение при равнозамедленном движении

a = ( 4 - 12) / 4 = -2 м/с².

Путь, пройденный за все время движения , определяется суммой пути равномерного движения s_рвнм =  t = 12  4 = 48 м и равнозамедленного s_рзмдл= 12  4 – 2  16 / 2 =32 м.

Общий путь s = 48 + 32 = 80 м.

Пример 3. Колесо радиусом 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задается уравнением  = 3 + 2t + t³ ( в радианах, время в секундах). Для точек на ободе колеса через три секунды после начала движения найти 1) угловой путь в радианах и оборотах; 2) угловую скорость и число оборотов в единицу времени; 3) линейную скорость; 4) угловое ускорение; 5) нормальное ускорение; 6) тангенциальное ускорение; 7) полное ускорение.

Р е ш е н и е. 1) Угловой путь в радианах найдем подстановкой времени в уравнение движения:  = 3 + 23 + 3³ = 36 рад. Угловой путь  связан с оборотами N соотношением  = 2πN, т.е. N =  / 2π, отсюда N = 36/6,28 = 5,73 оборота.

2) Угловая скорость  =  = 2 + 2t², для нашей задачи  = 2 + 23²= 20 рад/с. Угловая скорость связана с числом оборотов в единицу времени соотношением  = 2πn, отсюда n = 20 / 6.28 = 3,18 об/с.

3) Линейная скорость  = R, т.е.  = 200,1 = 2 м/с.

4) Угловое ускорение  =  = 4t, т.е.  = 43 = 12 рад/с².

5) Нормальное ускорение а_n = ²/R = ²R, т.е. а_n =20²0,1= 40 м/с².

6) Тангенциальное ускорение а_ = d/dt =  = R, т. е. а_ = 120,1 = 1,2 м/с².

7) Полное ускорение , , т.е.

а =  40² + 1,2² = 40,02 м/с².

Пример 4. Снаряд вылетел из орудия под углом 30⁰ к горизонту со скоростью ₀ = 600 м/с. Найти через 20с после начала движения 1) положение снаряда (на подъеме или спуске); 2) высоту подъема снаряда; 3) его скорость; 4) угол между нормальным и полным ускорением; 5) тангенциальное и нормальное ускорения. Принять g = 10 м/с²

А н а л и з. Траектория движения снаряда представлена на рис.2. Движение сложное, состоит из двух простых: вдоль оси Х оно равномерное с постоянной скоростью _х = _0х = ₀cos , вдоль оси У - равнопеременное с начальной скоростью _0у= ₀sin и ускорением g= 9,8 м/с². Запишем уравнения движения в проекциях на координатные оси:

ОХ: х = ₀cost, (25)

ОУ: y = ₀sint – gt²/2, (26)

_у = ₀sin – gt. (27)

Знак «минус» в последних двух уравнениях показывает, что вектор g направлен против положительного направления оси ОУ (если бы ось ОУ направили вниз, знак изменился бы на противоположный).

Р е ш е н и е. 1) Для определения положения снаряда в указанный момент времени t = 20с нужно найти время движения снаряда до высшей точки траектории (обозначим это время, например, через t₁). Если t будет меньше t₁, снаряд будет подниматься, если наоборот – опускаться. Время  найдем из уравнения (27).

Поскольку в высшей точке траектории _у = ₀sin – g t₁ = 0, то

t₁ = ₀sin / g. t₁ = 600sin30⁰ /10 = 6000,5 /10 = 30 c.

Сравним t и t₁, t < t₁, значит снаряд находится на подъеме.

2) Через t =20 с после начала движения у = h. Определим h по уравнению ( 25 ): h = ₀sint – gt²/2;

h = 600sin30⁰20 - 10(20)²/2 = 6000 – 2000 = 4000 м.

3) Скорость в указанной точке, согласно рис. 11, определится по теореме Пифагора: =  _x² + _y² .Составляющую скорости _у найдем по уравнению (27) для момента времени 20с: _у = 6000,5 – 1020 = 100 м/с. Учтем, что _х = 600cos30⁰=6000,87=520 м/c, тогда  = 100² + 520² = 529,53 м/с

4) Для определения угла между векторами нормального ускорения а_n и полного g, который всегда направлен вниз, нужно знать направление а_n. Параллелограмм ускорений в сопоставлении с параллелограммом скоростей представлен на рис. 12. Тангенциальное ускорение направлено против скорости, т.к. движение на подъеме замедленное. Из рис. 11 следует, что sin = _х /  = а_{n /} g;

sin = _х /  = 520 / 529,43 = 0,98;  = 79⁰.

5) Зная угол , найдем а_ и а_n : а_ = gcos; а_ = 100,71 = 7,1 м/с²;

а_n = gsin; а_n = 100,7 = 7 м/с²

Пример 5. Вентилятор, вращаясь равноускоренно, через время t = 15 c после включения достиг скорости, соответствующей частоте вращения n = 600 об/мин. Найти угловое ускорение вентилятора и число оборотов за время t.

Р е ш е н и е. Уравнения, описывающие вращение вентилятора, имеют вид

 = 2πN = ₀t + t²/2;  = ₀ + t.

Поскольку начальная угловая скорость ₀ равна нулю, второе из этих уравнений преобразуется к виду  = t. Учтем, что  = 2πn, получим 2πn = t. Тогда  = 2πn / t. Переведем об/мин в об/с: n = 600/60 = 10 об/с. Вычисляем угловое ускорение  = 23,1410/15 = 4,2 рад/с².

Из первого уравнения (₀=0), следует, что N = t²/(4π). Вычисляем6

N = 4,210²/(43,14) = 420 / 12,57 = 33,41 оборотов

Ниже приведены образцы экзаменационных вопросов и заданий.