ВВЕДЕНИЕ

Дидактический материал предназначен студентам всех специальностей заочного факультета ГУЦМиЗ, изучающих курс механики по программе для инженерно-технических специальностей.

Дидактический материал содержит краткое изложение теории по изучаемой теме, адаптированной к уровню обученности студентов-заочников, примеры решения типовых задач, вопросы и задания, аналогичные предлагаемым студентам на экзаменах, справочный материал.

Цель такого материала – помочь студенту-заочнику самостоятельно в сжатые сроки усвоить кинематическое описание поступательного и вращательного движений, используя метод аналогии; научиться решать численные и качественные задачи, разбираться в вопросах, связанных с размерностью физических величин.

Особое внимание уделяется решению качественных задач, как одному из приемов более глубокого и сознательного усвоения основ физики, необходимых при изучении специальных дисциплин. Они помогают понять смысл происходящих явлений природы, уяснить сущность физических законов и уточнить область их применения.

Дидактический материал может быть полезен студентам дневной формы обучения.

КИНЕМАТИКА

Часть физики, изучающую механическое движение, называют механикой. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей.

Кинематика – первый раздел механики, она изучает законы движения тел, не интересуясь причинами, вызывающими это движение.

1. Материальная точка. Система отсчета. Траектория.

Путь. Вектор перемещения

Простейшая модель кинематики - материальная точка. Это тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Любое тело можно представить как совокупность материальных точек.

Чтобы математически описать движение тела, необходимо определиться с системой отсчета. Система отсчета (СО) состоит из тела отсчета и связанных с ним системы координат и часов. Если в условии задачи нет специальных указаний, считается, что система координат связана с поверхностью Земли. В качестве системы координат чаще всего используется декартова система.

Пусть требуется описать движение материальной точки в декартовой системе координат ХУZ (рис.1). В некоторый момент времени t₁ точка находится в положении А. Положение точки в пространстве можно характеризовать радиусом - вектором r₁, проведенным из начала координат в положение А, и координатами x₁, y₁, z₁. Здесь и далее векторные величины обозначены жирным курсивом. К моменту времени t₂ = t₁ + Δ t материальная точка переместится в положение В с радиус вектором r₂ и координатами x₂, y₂, z₂.

Рис.1

Траекторией движения называется кривая в пространстве, по которой движется тело. По виду траектории различают прямолинейное, криволинейное движения и движение по окружности.

Длина пути (или путь) - длина участка АВ, измеренная по траектории движения, обозначается через Δs (или s). Путь в международной системе единиц (СИ) измеряется в метрах (м).

Вектор перемещения материальной точки Δr представляет собой разность векторов r₂ и r₁ , т.е.

Δr = r₂ - r_1.

Модуль этого вектора, называемый перемещением, является кратчайшим расстоянием между положениями А и В (начальным и конечным) движущейся точки. Очевидно, что Δs ≥ Δr, причем равенство выполняется при прямолинейном движении.

При движении материальной точки значение пройденного пути, радиуса-вектора и его координат меняется со временем. Кинематическими уравнениями движения (в дальнейшем уравнениями движения) называют их зависимости от времени, т.е. уравнения вида

s=s(t), r= r(t), x=х(t), y=у(t), z=z(t).

Если для движущегося тела известно такое уравнение, то в любой момент времени можно найти скорость его движения, ускорение и т.д., в чем далее убедимся.

Любое движение тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.

2. Кинематика поступательного движения

Поступательным называют такое движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе.

Скорость характеризует быстроту движения и направление движения.

Средней скоростью движения в интервале времени Δt называется величина

(1)

где - s отрезок пути, пройденный телом за время за время t.

Мгновенной скоростью движения (скорость в данный момент времени) называют величину, модуль которой определяется первой производной от пути по времени

(2)

Скорость - векторная величина. Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории движения (рис.2). Единица измерения скорости – м/с.

Значение скорости зависит от выбора системы отсчета. Если человек сидит в вагоне поезда, он вместе с поездом движется относительно СО, связанной с землей, но покоится относительно СО, связанной с вагоном. Если человек ходит по вагону со скоростью , то его скорость относительно СО «земля» _з зависит от направления движения. Вдоль движения поезда _з = _поезда + _, против  _з = _поезда - .

Проекции вектора скорости на оси координат υ_х ,υ_у ,υ_z определяются как первые производные от соответствующих координат по времени (рис. 2):

Рис.2.

Если известны проекции скорости на оси координат, модуль скорости можно определить по теореме Пифагора:

(3)

Равномерным называют движение с постоянной скоростью (υ = const). Если при этом не меняется направление вектора скорости v, то движение будет равномерным прямолинейным.

Ускорение - физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению Среднее ускорение определяется как

(4)

где Δυ - изменение скорости за отрезок времени Δt.

Вектор мгновенного ускорения определяется как производная от вектора скорости v по времени:

(5)

Поскольку при криволинейном движении скорость может изменяться как по величине, так и по направлению, принято разлагать вектор ускорения на две взаимно перпендикулярные составляющие

а = а_τ + а_n. (6)

Тангенциальное (или касательное) ускорение а_τ характеризует быстроту изменения скорости по величине, его модуль

.(7)

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории движения по скорости при ускоренном движении и против скорости при замедленном движении (рис. 3)..

Нормальное (центростремительное) ускорение а_n характеризует изменение скорости по направлению, его модуль

(8)

где R - радиус кривизны траектории.

Вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, которую можно провести касательно к данной точке траектории; он всегда перпендикулярен вектору тангенциального ускорения (рис.3).

Модуль полного ускорения определяется по теореме Пифагора

. (9)

Направление вектора полного ускорения а определяется векторной суммой векторов нормального и тангенциального ускорений (рис.3)

Равнопеременным называют движение с постоянным ускорением. Если ускорение положительно, то это равноускоренное движение, если же оно отрицательно - равнозамедленное.

При прямолинейном движении а _ם =0 и а = а_τ. Если а _ם=0 и а_τ = 0, тело движется прямолинейно и равномерно; при а _ם=0 и а_τ = const движение прямолинейное равнопеременное .

При равномерном движении пройденный путь вычисляется по формуле:

ds = dt → s = ∫dt = ∫dt = t + s₀, (10 )

где s₀ - начальный путь для t = 0. Последнюю формулу необходимо запомнить.

Графические зависимости υ(t) и s(t) приведены на рис .4.

Для равнопеременного движения  = ∫а dt = а∫ dt, отсюда

= аt + ₀, (11)

где ₀ - начальная скорость при t=0.

Пройденный путь s= ∫dt = ∫(аt + ₀)dt. Решая этот интеграл, получим

s = аt²/2 + ₀t + s₀, (12)

где s₀ - начальный путь (для t = 0). Формулы (11), (12) рекомендуем запомнить.

Графические зависимости а(t), υ(t) и s(t) приведены на рис .5.

К равнопеременному движению с ускорением свободного падения g = 9,81 м/с² относится свободное движение тел в вертикальной плоскости: вниз тела падают с g›0, при движении вверх ускорение g‹ 0. Скорость движения и пройденный путь при этом изменяется согласно (11):

 = ₀ + g t; (13)

h = gt²/2 + ₀t + h ₀. (14)

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту (мяч, камень, пушечный снаряд,… ). Это сложное движение состоит из двух простых: по горизонтали вдоль оси ОХ и вертикали вдоль оси ОУ (рис.6). По горизонтальной оси в отсутствие сопротивления среды движение равномерное; по вертикальной оси - равнопеременное: равнозамедленное до максимальной точки подъема и равноускоренное после нее. Траектория движения имеет вид параболы. Пусть ₀ - начальная скорость тела, брошенного под углом α к горизонту из точки А (начало координат). Ее составляющие по выбранным осям:

_0x = _x = ₀ cos α = const; (15)

_0у = ₀ sinα. (16)

О

Рис. 6.

Согласно формуле (13) имеем для нашего примера в любой точке траектории до точки С

_у = _0у - g t = ₀ sinα. - g t ;

_х = _0х = ₀ cos α = const.

В наивысшей точке траектории, точке С, вертикальная составляющая скорости _у = 0. Отсюда можно найти время движения до точки С:

_у = _0у - g t = ₀ sinα. - g t = 0 → t = ₀ sinα/ g. (17)

Зная это время, можно определить максимальную высоту подъема тела по (14):

h_max= _0уt- gt²/2=₀ sinα ₀ sinα/g – g(₀ sinα /g)²/2 = (₀ sinα)²/(2g) (18)

Поскольку траектория движения симметрична, то полное время движения до конечной точки В равно

t₁ =2 t = 2₀ sinα / g. (19)

Дальность полета АВ с учетом (15) и (19) определится так:

АВ = _х t₁ = ₀ cosα 2₀ sinα/ g = 2₀²cosα sinα/ g. (20)

Полное ускорение движущегося тела в любой точке траектории равно ускорению свободного падения g ; его можно разложить на нормальное и тангенциальное, как было показано на рис.3.