Моделирование гемодинамики в эластичном сосуде (модель Франка)

В данной работе рассматривается модель сосудистой системы, предложенной О. Франком, которая позволяет установить связь между давлением и объемной скоростью кровотока в крупном сосуде с учетом их эластичности и периферического сопротивления кровеносной системы. Модель позволяет рассчитать изменение во времени гемодинамических показателей в крупном сосуде в течение сердечного цикла.

Цель работы:

1. Ознакомиться с физическими основами гемодинамики.

2. Научиться составлять математическую модель, описываю­щую кровоток в эластичном сосуде.

3. Исследовать изменение гемодинамических показателей при изменении одного из параметров системы и научиться сопоставлять их с процессами в сердечно-сосудистой системе.

Оснащение:

1. Персональный компьютер.

2. Программа математической модели гемодинамики в эластичном сосуде.

3. Таблицы с заданиями.

Краткая теория

Физические основы гемодинамики

Движущей силой кровотока является разность давлений между различными отделами сосудистого русла. Кровь течет от области высокого давления к области низкого давления. Этот градиент давления служит источником силы, преодолевающей гидравлическое (периферическое) сопротивление. Последнее значительно варьирует как во времени, так и в разных отделах кровеносной системы и зависит от числа, длины, диаметра и степени ветвления сосудов в данной отделе, а также вязкости крови.

Давление в кровеносной системе равно отношению силы, с которой кровь действует на стенки сосудов, к площади стенок и определяет силу, действующую на единицу площади.

Р = ,

Измеряется в миллиметрах ртутного столба.

Объемная скорость кровотока отражает кровоснабжение того или иного органа и равна объему крови, протекающему через поперечное сечение сосуда в единицу времени:

Q = ,

единица измерения (м³/с).

Линейная скорость определяет путь, проходимый частицами крови в единицу времени:

v = ,

единица измерения (м/с).

Линейная и объемная скорости связаны соотношением Q=v∙S, где S- площадь поперечного сечения сосуда. Приведенное соотношение называют условием неразрывности струи. Объемная скорость кровотока в любом сечении сосудистой системы постоянна. Суммарная площадь просвета всех капилляров в 500-600 раз больше поперечного сечения аорты и это в соответствии с условием неразрывности струи определяет, что скорость движения крови в капиллярах в 500 раз меньше скорости в аорте. На рис. 1 приведена кривая изменения линейных скоростей вдоль сосудистой системы.

Рис.1 Линейная скорость в различных участках кровеносной системы.

Объемная скорость для стационарного ламинарного течения жидкости в цилиндрической трубе постоянного сечения определяется формулой Гагена-Пуазейля:

Q = · , (1)

где: ∆Р= Р₁–Р₂ -падение давления, то есть разность давлений у входа в трубу Р₁ и на выходе из нее Р ₂ на расстояние l, R-радиус трубы, η-вязкость жидкости.

Гидродинамическое сопротивление (Х) обусловлено внутренним трением между слоями жидкости и между жидкостью и стенками сосуда. Оно зависит от радиуса сосуда R, его длины l и вязкостиη.

X = , (2)

Гидродинамическое сопротивление в значительной степени зависит от радиуса сосуда R~ что определяет следующее соотношение сопротивлений различных участков кровеносной системы:

Х_кап>X_арт>X_аорт , (3)

так как R_аорт : R_арт :R_кап ≈3000:500:1.

Выражение (1) с учетом (2) можно представить как

Q = , (4)

Анализ (4) с учетом (3) при условии, что Q=const показывает, что наибольшее падение давления происходит в мелких сосудах. Распределение давления в кровеносной системе приведено на рис. 2.

Рис. 2. Распределение давления в различных участках кровеносной системы ( штриховкой обозначена область колебаний давления, пунктиром – среднее давление):1-давление в аорте, 2- в крупных артериях, 3-в мелких артериях, 4-в артериолах, 5-в капиллярах.

Схема сердечно-сосудистой системы