3. Числові характеристики неперервних випадкових величин

Вивчимо основні числові характеристики неперервних випадкових величин.

Нехай відома щільність розподілу , визначена при . Розіб’ємо проміжокнаелементарних проміжківі в кожному з них виберемо точку. Складемо суму добутків виду, де– ймовірність попаданняв інтервал:

.

(– математичне сподівання). Переходимо до границі при. Одержуємо інтеграл.

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини , можливі значення якої належать проміжку, називається визначений інтеграл

.

Якщо , то(при умові, що інтегралзбігається).

Дисперсією неперервної випадкової величини називається математичне сподівання квадрату їх відхилення. Можна довести, що

, якщо , і, якщо.

Можна також довести, що дисперсію зручніше обчислювати за формулою

.

Математичне сподівання і дисперсія неперервних випадкових величин мають такі ж самі властивості, як математичне сподівання і дисперсія дискретних випадкових величин.

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини – це корінь квадратний з дисперсії. Як і у дискретному випадку, для неперервної випадкової величини знаходять моменти різних порядків.

В теорії ймовірностей і математичній статистиці використовуються і інші числові характеристики.

Медіаною розподілу називають таке значення аргументу, для якого виконується умова.

Якщо крива має з прямоюспільний відрізок, то абсцису кожної точки цього відрізка можна взяти за медіану даного розподілу.

Якщо функція розподілу є неперервною, для неї розглядаютьквантиль порядку – корінь рівняння. Таким чином, медіана – це квантиль порядку. Квантилі дляназиваютьдецилями; квантилі для називаютьквартилями.

Якщо неперервна випадкова величина має щільність розподілу , томодою розподілу називається кожне значення , при якомумає максимум.

4. Застосування числових характеристик для прийняття рішень в умовах ризику

Числові характеристики використовуються для прийняття рішень в умовах ризику. Розглянемо приклад з використанням очікуваної вартості.

Приклад №3. Роздрібний торговець купує товар, що швидко псується, за ціною 4 грн. за одиницю, а продає за 6 грн. (Якщо товар протягом дня не продано, то торговець втрачає 4 грн. за кожну одиницю товару).

Статистичними дослідженнями встановлено, що денний попит на товар має 3 різні варіанти:

- 13 одиниць – з ймовірністю 0,2;

- 14 одиниць – з ймовірністю 0,5;

- 15 одиниць – з ймовірністю 0,3.

Потрібно визначити, який щоденний запас товару потрібно мати продавцеві, щоб отримати максимальний прибуток.

Для розв’язування задачі складемо модель ризику. Заповнимо умовну таблицю доходів (грн.) у залежності від попиту.

№ стратегії	Запаси	Кількість проданого товару
		13 (йм. 0,2)	14 (йм. 0,5)	15 (йм. 0,3)
1	13	26	26	26
3	14	22	28	28
4	15	18	24	30

При першій стратегії торговець заробляє 26 грн. від продажу 13 одиниць товару з доходом 6 грн. – 4 грн. = 2 грн. за одиницю.

При другій стратегії торговець у середньому зароблятиме

грн.

При третій стратегії очікується прибуток

грн.

Найкраще рішення буде таким, коли запаси щоденно становлять 14 одиниць; при цьому очікується середній дохід 26,8 грн.

Приклад №4. Мале підприємство випускає продукцію партіями, причому ймовірність появи нестандартної партії – 0,1. Брак продукції у придатній партії становить 3%, у непридатній – 8%.

Перед відправкою партії проводиться вибірковий контроль, причому для контролю відбирається два вироби.

Контрактом обумовлено, що відсоток бракованих виробів, які відправляються споживачами і, не повинен перевищувати 5% і 6% відповідно. За один відсоток перевищення встановлених меж передбачається штраф 800 грн. Виробництво партії виробів вищої якості збільшує затрати підприємства на 600 грн. за кожен відсоток.

Якому споживачеві слід відправити партію виробів, щоб ймовірні втрати підприємства були меншими?

Розв’яжемо цю задачу, використовуючи байєсовський підхід.

Спочатку обчислимо можливі ймовірності результатів контролю.

Введемо такі позначення:

– “вибрана придатна партія” ;

– “вибрана непридатна партія” ;

– “обидва вироби стандарті”;

– “один з двох виробів – стандартний”;

– “обидва вироби нестандартні”.

Обчислимо ймовірності подій ,,за формулою повної ймовірності. Умовні ймовірності знаходимо з використанням формули Бернуллі. Маємо:

; ;

;

Згідно з формулою повної ймовірності, маємо:

За формулами Байєса

Результати обчислень запишемо в таблицю

	0,90913	0,78063	0,55862
	0,09087	0,21937	0,44138

Є два варіанти прийняття рішень (альтернативи): – відправити партію виробів споживачеві,– споживачеві.

Розглянемо альтернативу .

При відправленні споживачеві придатної партії підприємство несе втрати через те, що на якість продукції затрачені додаткові ресурси:

грн.

Якщо ж споживачеві відправлена непридатна партія, то підприємство сплачує штраф у розмірі

грн.

У випадку альтернативи аналогічно одержуємо: при відправленні споживачевіпридатної партії власні витрати становлять

грн,

а при відправленні непридатної партії штраф становитиме

грн,

Представимо ці витрати у вигляді матриці

Керівництво приймає рішення, кому відправити партію продукції, виходячи з мінімуму середніх втрат – математичного сподівання.

Нехай має місце подія .

1. Для альтернативи

,

а для альтернативи

.

Оскільки , то слід вибрати альтернативу, якій відповідають менші витрати.

Припустимо, що має місце подія .

1. Для альтернативи

,

а для альтернативи

.

У цьому випадку також доцільніше вибрати альтернативу .

Нехай виконується подія .

1. Для альтернативи

,

а для альтернативи

.

У цьому випадку приймаються рішення про відправку партії виробів споживачеві .