4. Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості

Знаючи лише математичне сподівання величини , неможливо оцінити величину розсіюваннянавколо. Тому вводять до розгляду дисперсію.

Дисперсією дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

.

Таким чином, для обчислення дисперсії, згідно з означенням, спочатку обчислюють , потім складають закон розподілу величини:

			...
			...

та знаходять .

Для практичного обчислення дисперсії зручніше користуватися формулою

.

Дійсно, Дисперсія має такі властивості:

1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю.

2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, піднісши його до квадрату:

.

3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

.

Аналогічно дисперсія суми кількох взаємно залежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин; дисперсія суми постійної величини і випадкової величини дорівнює дисперсії випадкової величини.

3. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

.

Приклад №7. Визначити дисперсію числа появ події А в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірністьпояви події постійна.

Позначимо – число появ події А внезалежних випробуваннях,– число появ події А в -ому випробуванні (– незалежні випадкові величини). Тоді, і. При цьому, де,. Таким чином,; а.

5. Середнє квадратичне відхилення

Крім дисперсії, для оцінки розсіювання значень випадкової величини навколо її середнього значення служить середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь з дисперсії: .

Розмірність співпадає з розмірністю.

Середнє квадратичне відхилення суми скінченого числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин:

.

Дійсно, оскільки і, то, або.

Приклад №8. Визначити математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного взаємно незалежних випадкових величин, які мають однаковий розподіл.

Виявляється, що математичне сподівання середнього арифметичногодорівнює математичному сподіваннюкожної з цих величин. Дійсно:

.

Дисперсія середнього арифметичного враз меншавід дисперсії кожної з величин:

. Дійсно:

.

Середнє квадратичне відхилення враз менше середнього квадратичного відхиленнякожної з цих величин:.

Дійсно, .

Таким чином, середнє арифметичне досить великого числа взаємно незалежних випадкових величин має значно менше розсіювання, ніж кожна окрема величина.

6. Теоретичні моменти

Нехай – ціле,– дійсне число.

Моментом -го порядку випадкової величини відносно точкиназивається число .

Якщо , то момент називаєтьсяпочатковим; цей момент позначають через . Наприклад,.

Центральним моментом називається момент відносно точки . Центральний момент-го порядку позначають через. Наприклад,,. Очевидно,.

Розглянуті моменти називають теоретичними. Зауважимо, що у математичній статистиці використовують ще і емпіричні моменти.

Неперервні випадкові величини, їх числові характеристики. Про прийняття рішень в умовах ризику