Показники вирощування сільськогосподарських культур

Показник (із розрахунку на 1 га)	Озима пшениця	Цукрові буряки	Наявний ресурс
Затрати праці, людино-днів	5	25	270
Затрати праці механізаторів, людино-днів	2	8	80
Урожайність, тонн	3,5	40	—
Прибуток, тис. грн	0,7	1	—

Критерієм оптимальності є максимізація прибутку.

Запишемо економіко-математичну модель структури виробництва озимої пшениці та цукрових буряків, ввівши такі позначення:

х₁— шукана площа посіву озимої пшениці, га;

х₂ — шукана площа посіву цукрових буряків, га.

Задача лінійного програмування має такий вигляд:

max Z = 0,7x₁ + x₂ (2.10)

за умов:

x₁ + x₂ ≤ 20; (2.11)

5x₁ + 25x₂ ≤ 270; (2.12)

2x₁ + 8x₂ ≤ 80; (2.13)

x₂ ≥ 5; (2.14)

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0. (2.15)

Геометричну інтерпретацію задачі зображено на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Область допустимих розв’язків задачі

Область допустимих розв’язків цієї задачі дістаємо так. Кожне обмеження, наприклад х₁+х₂20, задає півплощину з граничною прямоюх₁+х₂= 20. Будуємо її і визначаємо півплощину, яка описується нерівністюх₁+х₂20. З цією метою в нерівністьх₁ +х₂20 підставляємо координати характерної точки, скажімо,х₁= 0 іх₂= 0. Переконуємося, що ця точка належить півплощиніх₁+х₂20. Цей факт на рис. 2.2 ілюструємо відповідною напрямленою стрілкою. Аналогічно будуємо півплощини, які відповідають нерівностям (2.11)—(2.15). У результаті перетину цих півплощин утворюється область допустимих розв’язків задачі (на рис. 2.2 — чотирикутникABCD). Цільова функціяZ= 0,7x₁+x₂являє собою сім’ю паралельних прямих, кожна з яких відповідає певному значеннюZ. Зокрема, якщоZ= 0, то маємо 0,7х₁+х₂= 0. Ця пряма проходить через початок системи координат. КолиZ= 3,5, то маємо пряму 0,7х₁+х₂= 3,5.

4. Основні властивості розв’язків задачі лінійного програмування

Властивості розв’язків задачі лінійного програмування формулюються у вигляді чотирьох теорем (доведення теорем та їх наслідки наведено нижче).

Властивість 1. (Теорема 2.2) Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла.

Властивість 2. (Теорема 2.3) Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин її багатогранникарозв’язків. Якщо ж цільова функція набуває екстремального значеннябільш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.

Властивість 3. (Теорема 2.4) Якщо відомо, що система векторів A₁, A₂, …, A_k (k ≤ n) у розкладі A₁x₁ +A₂x₂ + … + A_nx_n = A₀, X ≥ 0 лінійно незалежна і така, що

A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_kx_k = A₀,

де всі x_j ≥ 0, то точка X = (x₁, x₂, …, x_k, 0, …, 0) є кутовою точкою багатогранника розв’язків.

Властивість 4. (Теорема 2.5) ЯкщоX= (x₁,x₂, …,x_n) — кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладіA₁x₁+ +A₂x₂+ … +A_nx_n=A₀,X≥ 0, що відповідають додатнимx_j, є лінійно незалежними.

Доведемо сформульовані теореми.

Теорема 2.2. Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла.

Доведення. Необхідно довести, що колиX₁таX₂— плани задачі лінійного програмування (2.1)—(2.3), то їх опукла комбінаціяX=λ₁X₁+λ₂X₂,λ₁≥ 0,λ₂≥ 0,λ₁+λ₂= 1 також є планом задачі.

Так як X₁іX₂— плани задачі, то виконуються такі співвідношення:

AX₁ = A₀, X₁ ≥ 0; AX₂ = A₀, X₂ ≥ 0.

Якщо підставити в систему обмежень значення X, то отримаємо:

AX = A(λ₁X₁+λ₂X₂) =λ₁AX₁+λ₂AX₂=λ₁A₀+λ₂A₀= (λ₁+λ₂)A₀=A₀.

Отримали, що Xзадовольняє систему обмежень задачі лінійного програмування (2.2), і оскількиХ₁≥ 0,Х₂≥ 0,λ₁≥ 0,λ₂≥ 0, то йХ≥ 0, тобто задовольняють і умову (2.3). У такий спосіб доведено, щоХ— план задачі лінійного програмування.

Теорема 2.3. Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин багатогранника розв’язків. Якщо цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.

Д

Рис. 2.3. Багатокутник розв’язків задачі у двовимірному просторі

оведення. Припустимо, що багатогранник розв’язків задачі обмежений і має скінченну кількість кутових точок. Позначимо його черезQ. У двовимірному просторіQмає вид багатокутника, що зображено на рис. 2.3. Позначимо кутові точки черезХ₁, Х₂, ..., Х_р, а оптимальний план —Х₀.

Задача (2.1) — (2.3) розв’язується на максимум, отже, при будь-якому ХізQдля значенняХ₀ виконується нерівністьF(X₀) ≥ F(X). ЯкщоХ₀ — кутова точка, то перша частина теореми доведена. Припустимо, щоХ₀не є кутовою точкою, тодіХ₀є точкою, яка належить опуклій множині (доведено в попередній теоремі). Отже, її можна подати як опуклу лінійну комбінацію кутових точок множиниQ, тобто

X₀=λ₁X₁+λ₂X₂+ … +λ_pX_p,

.

У зв’язку з тим, що F(X) — лінійна функція, отримаємо:

(2.16)

У такому розкладі серед значень F(X_i) вибираємо найбільше (припустимо, що воно відповідає кутовій точціі позначимо його через m, тобто. Замінимо в (2.16) кожне значенняF(X_i)цим найбільшим значенням. Оскільки, то

.

За припущенням Х₀ — оптимальний план, отже, з одного боку,F(X₀) ≥ F(X_k) = m, а з другого, доведено, щоF(X₀) ≤m, значить,F(X₀) =m=F(X_k), деX_k— кутова точка. Отже, лінійна функція досягає максимального значення в кутовій точці (X_k).

Для доведення другої частини теореми припустимо, що F(X)набирає максимальних значень більше, ніж в одній кутовій точці, наприклад у точкахХ₁, Х₂, ..., Х_q,(1 ≤q ≤ p), тодіF(X₁) =F(X₂) = … =F(X_q) =m. ЯкщоХ опукла лінійна комбінація цих кутових точок, то:

тобто лінійна функція Fнабирає максимальних значень у довільній точціХ, яка є опуклою лінійною комбінацією кутових точокХ₁, Х₂, ..., Х_q.

Зауваження. Якщо багатокутник розв’язків — необмежена область (рис. 2.4), то не кожну точку можна подати у вигляді опуклої лінійної комбінації її кутових точок. У такому разі задачу лінійного програмування з багатокутником розв’язків, що є необмеженою областю, можна звести до задачі з обмеженою областю, ввівши в систему додаткове обмеженнях₁+х₂≤L, деL—достатньо велике число. Введення цього обмеження означає в

Рис. 2.4. Багатокутник розв’язку задачі у двовимірному просторі з необмеженою областю

ідтинання прямоюх₁+х₂=Lвід багатокутної необмеженої області обмеженого багатокутника, для якого виконується наведена теорема.

Очевидно, що координати кутових точок, які утворяться в результаті введення нового обмеження, залежать від L. Якщо в одній з них лінійна функція набирає максимального значення, то воно залежить відL. ЗмінюючиL, значення функціонала можна зробити як завгодно великим, а це означає, що лінійна функція необмежена на багатограннику розв’язків.

Теорема 2.4. Якщо відомо, що система векторів (k ≤ n) у розкладі ,лінійно незалежна і така, що

,

де всі x_j ≥ 0, то точка X = (x₁, x₂, …, x_k, 0, …, 0) є кутовою точкою багатогранника розв’язків.

Доведення. Припустимо, що точкаХне є кутовою. Тоді вона може бути виражена опуклою лінійною комбінацією двох інших точокХ₁таХ₂багатокутника розв’язків, тобто:

Компоненти векторів Х₁таХ₂, значенняλ₁іλ₂невід’ємні і останніn – kкомпонентів вектораХдорівнюють нулю, тому відповідніn – k компонент векторівХ₁таХ₂також мають дорівнювати нулю, тобто

,

.

Оскільки Х₁таХ₂— плани, то

,

.

Віднімаючи від першого рівняння друге, отримаємо:

.

За припущенням вектори лінійно незалежні, тому останнє співвідношення виконується, якщо

.

Звідси:

Отже, Х неможливо подати як опуклу лінійну комбінацію двох інших точок багатокутника розв’язків. Значить, Х — кутова точка.

Теорема 2.5. Якщо — кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладі,, що відповідають додатним, є лінійно незалежними.

Доведення. Не порушуючи загальності, можна вважати нерівними нулю першіkелементів вектораХ, отже,

.

Здійснимо доведення від супротивного. Припустимо, що система векторів лінійно залежна. Тоді існують такі числа, не всі рівні нулю, за яких виконується співвідношення:

.

За умовою

.

Задамо деяке число , помножимо на нього першу рівність, далі результат спочатку додамо до другого, а потім віднімемо від другого рівняння:

,

.

Отже, система рівнянь задачі лінійного програмування має два розв’язки, які можуть і не бути планами.

.

Всі х_і>0, тому числоможна вибрати настільки малим, що всі перші компонентитанабуватимуть додатних значень, тодіта— плани. При цьому, тобтоХ— опукла лінійна комбінація точокХ₁таХ₂, що суперечить умові теореми, оскількиХ— кутова точка.

Припущення стосовно лінійної залежності векторів привело до суперечності. Отже, воно є неправильним, а система векторів — лінійно незалежна.

Наслідок 1. Оскільки векторимають розмірністьm, то кутова точка багатокутника розв’язків має не більше, ніжmдодатних компонентів.

Наслідок 2. Кожній кутовій точці багатокутника розв’язків відповідаєлінійно незалежних векторів системи.

З наведених властивостей можна висновувати:

якщо функціонал задачі лінійного програмування обмежений на багатограннику розв’язків, то:

1. існує така кутова точка багатогранника розв’язків, в якій лінійний функціонал досягає свого оптимального значення;

2. кожний опорний план відповідає кутовій точці багатогранника розв’язків.

Тому для розв’язання задачі лінійного програмування необхідно досліджувати лише кутові точки багатогранника (опорні плани), не включаючи до розгляду внутрішні точки множини допустимих планів.

5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування

Для розв’язування двовимірних задач лінійного програмування, тобто задач із двома змінними, а також деяких тривимірних задач застосовують графічний метод, що ґрунтується на геометричній інтерпретації та аналітичних властивостях задач лінійного програмування. Обмежене використання графічного методу зумовлене складністю побудови багатогранника розв’язків у тривимірному просторі (для задач з трьома змінними), а графічне зображення задачі з кількістю змінних більше трьох взагалі неможливе.

Розглянемо задачу.

Знайти

(2.17)

за умов:

(2.18)

. (2.19)

Припустимо, що система (2.18) за умов (2.19) сумісна і багатокутник її розв’язків обмежений.

Згідно з геометричною інтерпретацією задачі лінійного програмування (§ 2.4) кожне і-те обмеження-нерівність у (2.18) визначає півплощину з граничною прямою (і = 1, 2, …, т). Системою обмежень (2.18) графічно можна зобразити спільну частину, або переріз усіх зазначених півплощин, тобто множину точок, координати яких задовольняють всі обмеження задачі —багатокутник розв’язків.

Умова (2.19) невід’ємності змінних означає, що область допустимих розв’язків задачі належить першому квадранту системи координат двовимірного простору. Цільова функція задачі лінійного програмування геометрично інтерпретується як сім’я паралельних прямих с₁х₁ +с₂х₂= const.

Скористаємося для графічного розв’язання задачі лінійного програмування властивостями, наведеними в § 2.5:

якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин її багатокутника розв’язків. Якщо ж цільова функція досягає екстремального значення більш як в одній вершині багатокутника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією цих вершин.

Отже, розв’язати задачу лінійного програмування графічно означає знайти таку вершину багатокутника розв’язків, у результаті підстановки координат якої в (2.17) лінійна цільова функція набуває найбільшого (найменшого) значення.

Алгоритм графічного методурозв’язування задачі лінійного програмування складається з таких кроків:

1. Будуємо прямі, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі (2.18) знаків нерівностей на знаки рівностей.

2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо багатокутник розв’язків задачі лінійного програмування.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі.

5. Будуємо пряму с₁х₁ +с₂х₂= const, перпендикулярну до вектора.

6. Рухаючи пряму с₁х₁ + с₂х₂ = const в напрямку вектора (для задачі максимізації) або в протилежному напрямі (для задачі мінімізації), знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набирає екстремального значення.

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

У разі застосування графічного методу для розв’язування задач лінійного програмування можливі такі випадки:

1. Цільова функція набирає максимального значення в єдиній вершині Абагатокутника розв’язків (рис. 2.5).

2. Максимального значення цільова функція досягає в будь-якій точці відрізка АВ(рис. 2.6). Тоді задача лінійного програмування має альтернативні оптимальні плани.

3. Задача лінійного програмування не має оптимальних планів: якщо цільова функція необмежена згори (рис. 2.7) або система обмежень задачі несумісна (рис. 2.8).

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Рис. 2.7 Рис. 2.8

4. Задача лінійного програмування має оптимальний план за необмеженої області допустимих розв’язків (рис. 2.9 і 2.10). На рис. 2.9 у точці Вмаємо максимум, на рис. 2.10 у точціА— мінімум, на рис. 2.11 зображено, як у разі необмеженої області допустимих планів цільова функція може набирати максимального чи мінімального значення у будь-якій точці променя.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Р

Рис. 2.11

озв’язувати графічним методом можна також задачі лінійного програмуванняn-вимірного простору, де, якщо при зведенні системи нерівностей задачі до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних кількість зміннихnна дві більша, ніж число обмеженьm, тобто.

Тоді, як відомо з курсу вищої математики, можна дві з nзмінних, наприклад х₁ та х₂, вибрати як вільні, а інші m зробити базисними і виразити через вільні. Припустимо, що це зроблено. Отримаєморівнянь вигляду:

Оскільки всі значення , то мають виконуватись умови:

,

(2.19.1)

Розглянемо, як можна зобразити ці умови геометрично. Візьмемо, наприклад, першу з них:

Узявши величину х₃рівною своєму крайньому значенню — нулю, отримаємо рівняння:

.

Це рівняння прямої. Для такої прямої , по одну сторону від неї, а по другу —. Відмітимо ту сторону прямої, де.

В аналогічний спосіб побудуємо і всі інші обмежуючі прямі: ;;...;і відмітимо для кожної з них півплощину, де відповідна змінна більше нуля.

У такий спосіб отримують n – 2 прямі та дві осі координат (,). Кожна з них визначає півплощину, де виконується умова . Частина площини вналежить водночас всім півплощинам, утворюючи багатокутник допустимих розв’язків.

Припустимо, що в задачі необхідно знайти максимальне значення функціонала:

.

Підставивши вирази для ,,, ...;з (2.19.1) у цей функціонал, зведемо подібні доданки і отримаємо вираз лінійної функціїFвсіхnзмінних лише через дві вільні змінніта:

,

де — вільний член, якого в початковому вигляді функціонала не було.

Очевидно, що лінійна функція досягає свого максимального значення за тих самих значеньта, що й. Отже, процедура відшукання оптимального плану з множини допустимих далі здійснюється за алгоритмом для випадку двох змінних.