Розділ іі. Динаміка

2.1. Динаміка матеріальної точки

Імпульс (кількість руху) матеріальної точки

.

Другий закон Ньютона (основне рівняння динаміки матеріальної точки) для тіл з сталою масою

.

Другий закон Ньютона в загальній формі

.

Якщо на тіло діють декілька сил, то основне рівняння динаміки у векторній формі має вигляд

.

У проекціях на координатні осі

.

2.2. Пружні властивості твердих тіл. Всесвітнє тяжіння. Сили тертя

Сила пружності (закон Гука):

,

де k – коефіцієнт жорсткості;

х– абсолютна деформація.

Механічна напруга при пружній деформації:

,

де F – розтягуюча (стискуюча) сила;

S– площа поперечного перерізу.

Відносна повздовжня деформація:

,

де l₀ – довжина тіла до деформації;

l– довжина тіла після деформації.

Закон Гука для повздовжнього розтягу (стиску)

,

Кут закручування стержня

,

де М – обертальний момент;

l - довжина стержня;

R - радіус стержня;

G- модуль зсуву.

Закон всесвітнього тяжіння

,

де m₁ і m₂ - маси матеріальних точок;

r- відстань між ними;

- гравітаційна стала.

Третій закон Кеплера

,

де a₁ і а₂ – великі півосі еліптичних орбіт планет навколо Сонця;

Т₁ і Т₂ – періоди обертання цих планет.

Сила тертя ковзання , де- коефіцієнт тертя ковзання;N – сила нормального тиску.

Сила тертя кочення

,

де - коефіцієнт тертя кочення;

r – радіус тіла, що котиться.

Координати центра мас системи матеріальних точок:

.

2.3. Імпульс. Закон збереження імпульсу

Закон збереження імпульсу системи (повний імпульс у замкненій системі, є величина стала)

.

Закон зміни імпульсу системи

,

де - результуюча всіх зовнішніх сил;

- імпульс системи.

Швидкість руху тіл після абсолютного непружного центрального удару

.

Швидкості двох тіл масами іпісля абсолютно пружного центрального удару

,

,

де і- швидкості тіл до удару.

2.4. Робота, потужність, енергія

Робота постійної сили ()

, або ,

де - вектор переміщенням;

- кут між напрямком дії сили і переміщенням.

При змінній силі () переміщення розбивають на елементарні переміщеннятакої величини, щоб в його межах силу можна вважати постійною. Тоді елементарна робота:.

Повна робота, яка виконується змінною силою при переміщенні точки з положення 1 в положення 2:

.

Середня потужність сили :

.

Миттєва потужність:

або .

Кінетична енергія матеріальної точки або тіла, що рухається поступально:

, або .

Приріст кінетичної енергії

, або .

Потенціальна енергія пружно деформованого тіла (стиснутої або розтягнутої пружини)

.

Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок (або тіл) масами m₁ і m₂, що знаходяться на відстані r одна від одної:

.

Потенціальна енергія тіла, що знаходиться поблизу поверхні Землі ():

.

Зменшення потенціальної енергії матеріальної точки дорівнює роботі сил поля:

.

Приріст повної механічної енергії матеріальної точки в потенціальному полі

,

де А_ст – алгебраїчна сума робіт всіх сторонніх сил, що діють на тіло.

2.5. Механіка твердого тіла

Момент інерції матеріальної точки:

,

де m – маса точки;

r– відстань від точки до вісі обертання.

Момент інерції системи матеріальних точок:

,

де r_i – відстань від матеріальної точки m_i до осі обертання.

У випадку неперервного розподілу маси:

.

Момент інерції тіл правильної геометричної форми:

1. однорідної кулі масою m і радіусом R відносно осі, що збігається з діаметром:

;

2. однорідного стержня довжиною l і масою m відносно осі, що проходить через центр мас перпендикулярно до осі стержня:

;

3. однорідного диска (циліндра) радіуса R і масою m відносно осі, що збігається з віссю диска

;

4. тонкостінного кільця (труби) радіуса R відносно осі, що збігається з віссю кільця (труби)

.

Момент інерції тіла J відносно будь-якої осі, що не проходить через центр мас тіла визначається за теоремою Штейнера

,

де J₀ - момент інерції тіла відносно осі, яка паралельна даній і проведена через центр мас тіла;

a– відстань між осями.

Момент сили відносно нерухомої точки:

.

де – радіус-вектор, проведений із цієї точки в точку прикладання сили. Модуль моменту сили

,

де l – плече сили (найкоротша відстань між лінією дії сили і віссю обертання).

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі:

,

де М – момент сили, що діє на тіло протягом часу d t;