ZbLAAG_Diskant_8

4.

Конус

x

2

y

2

z

2

0

8.17

a2

b2

c2

5.

Еліптичний

2

2

8.18

параболоїд

x

2

y2

2z

a

b

6.

Гіперболічний

x

2

y

2

2z

8.19

параболоїд

a2

b2

7.

Еліптичний

x

2

y

2

8.20

циліндр

1

a2

b2

8.

Гіперболічний

x

2

y

2

8.21

циліндр

1

a2

b2

9.

Параболічний

y2=2px

8.22

циліндр

Рис.8.17

Рис.8.18

Рис.8.19

x2

y2

z2

1

(8.12)

a2

b2

c2

y2

z2

1

h2

,

c2

a2

a2

x h.

2

2

0

Матриця А цієї форми має вигляд А= 2

1

2

. Складаємо та

2

0

0

2

2

0

2

1 2 0, (1 )( 2 ) 4( 2 ) 4 0,

0

2

x 2z,

x

2

y 2z,

або

y

2 z,

z ;

.

z z

z

1

2

Поклавши

z=1,

дістанемо

- власний вектор, що відповідає

a1

2

1

2 / 3

значенню

1 4. Тоді одиничний вектор

2

співнапрямлений з

e1

/ 3

1/

3

2 / 3

вектором

a1. Аналогічно для значення 2 1 одержимо

1/

3

,

e2

2

/ 3

2 / 3

2 / 3 1 / 3

C

2 / 3

1 / 3

2 / 3 .

2 / 3

1 / 3

2 / 3

4x 2 y 2 2z 2 6 y 16 або

4x 2

2 2z 2 25.

y 3

Звідси

y 3 2

x 2

z 2

1.

25 / 4

25

25 / 2

x

2

y

2

z2

1.

25 / 4

25

25 / 2

992.

Дослідити перерізи еліпсоїда

x2

y2

z2

1 площинами,

a2

а2

c2

паралельними координатним площинам.

993.

Знайти перерізи еліпсоїда

x2

y2

z

2

1

координатними

36

16

9

x2

y2

z2

1, а саме: перерізу площиною XOZ та площиною, яка

25

9

4

995.

Дослідити перерізи двополого

гіперболоїда

x2

y2

z2

1

a2

b2

c2

площинами, паралельними координатним площинам.

996.

Дано однополий гіперболоїд

x2

y2

z2 1. Знайти

лінії

його

a2

b2

c2

997.

Накреслити головні перерізи еліптичного параболоїда

z

x2

y2

4

2

і

проекції паралельних їм перерізів на відповідні координатні

площини.

998.

Методом перерізів дослідити форму і розташування відносно

прямокутної системи координат таких поверхонь (накреслити

рисунок).

1) x2+y2=2(z-1)2.

2) 2y2+z2=1-x.

3) 3x2-y2-z2=3.

4) x2-2y2+z2=1.

999.

Установити, що площина x-2=0 перерізає еліпсоїд

x2

y2

z2

1

16

12

4

x2

y 2

z 2

1 по гіперболі, знайти її півосі і вершини.

32

18

2

параболоїд

x2

y2

6z

по

параболі,

знайти її параметр

та

5

4

вершину.

1002.

Знайти рівняння проекцій на координатні площини перерізу

еліптичного параболоїда y2+z2=x площиною

x+2y-z=0.

1003.

Установити, яка

лінія

є

перерізом

еліпсоїда

x2

y2

z2

1

12

4

3

x2

z2

y

площиною 3x-3y+4z+2=0, знайти її центр.

2

3

Установити, які лінії визначаються такими рівняння та знайти

центр кожної з них.

x2

y2

2z,

x2

y2

2z,

1005.

6

1006.

3

3

4

3x y 6z

14 0.

x

2 y 2 0.

x2

y

2

z2

1,

1007.

9

36

4

9x 6 y 2z 28 0.

1008.

Установити, при яких значеннях m площина x+mz-1=0 перерізає

двополий гіперболоїд x2+y2-z2=-1

1) по еліпсу;

2) по гіперболі.

1009.

Установити, при яких значеннях m площина x+my-2=0 перерізає

еліптичний параболоїд

x2

z2

y

2

3

1) по еліпсу;

2) по параболі.

1010. Довести, що еліптичний параболоїд

x2

z2

2 y

має єдину спільну

9

4

точку з площиною 2x-2y-z-10=0, знайти її координати.

1011. Довести, що

двополий гіперболоїд

x2

y2

z2

1 має єдину

3

4

25

1012. Довести, що еліпсоїд

x2

y2

z2

1 має єдину спільну точку з

81

36

9

1)

x2

y2

z2

1 і

x 3

y

4

z 2

;

81

36

9

3

6

4

2)

x2

y2

z2

1

і

x

y

z 2

;

16

9

4

4

3

4

3)

x2

y2

z

і

x 1

y 2

z 3

;

5

3

2

1

2

4)

x2

y2

z

і

x

y 2

z 1

.

9

4

3

2

2

1015.

Довести, що площина 2x-12y-z+16=0 перерізає гіперболічний

параболоїд x2-4y2=2z по прямолінійних твірних. Скласти рівняння

цих прямолінійних твірних.

1016.

Довести, що

площина

4x-5y-10z-20=0 перерізає однополий

гіперболоїд

x2

y2

z2

1

по прямолінійних твірних. Скласти

25

16

4

рівняння цих прямолінійних твірних.

1017. Довести, що рівняння z=xy визначає гіперболічний параболоїд.

координат.

1019.

Назвати та побудувати поверхні:

1) x2=2yz;

2) z-a=xy.

В задачах №№1020-1031 з’ясувати, які поверхні визначаються

такими рівняннями:

1020.

4x2+9y2+36z2-8x-18y-72z+13=0.

1022.

4x2-y2+4z2-8x+4y+8z+4=0.

1023.

3x2+4y2+8y-12x+17z=0.

1024. x2+z2-4x-4z+4=0.

1025. x2+y2-z2-2y+2z=0.

1026. x2+2y2+2z2-4y+4z+4=0.

1027. x2+y2-z2-2x-2y+2z+2=0.

1028. x2+2y2-z2+2x-4y+2z+1=0.

1029.

2x2+y2+2z2-4x+4y+4z+7=0.

1030. x2-6y2+3z2+8x+12y+1=0.

1031. x2+y2+2x-2y-2z-2=0.

В задачах №№1032-1041 привести до канонічного вигляду

рівняння поверхонь другого порядку. Визначити вид кожної з

поверхонь. Знайти відповідні формули перетворення координат.

1032.

7x2+6y2+5z2-4xy-4yz=18.

1033. 2x2+2y2-5z2+2xy=15.

1034.

4x2+4y2-8z2-10xy+4yz+4xz=36.

1035. x2+4xy-8xz-2y2-4yz+z2=6.

1036.

2x2+5y2+2z2-2xy-4xz+2yz=3.

1037.

4x2-2y2-12z2+4xy+12yz=0.

1038.

2x2+y2+2z2-2xy+2yz+4x+4z=0.

1039.

5x2+6y2+7z2-4xy+4yz-10x+8y+14z=6.

1040.

2x2+y2+2z2+2xy+2yz+4x+2y-4=0.

1041.

6x2+5y2+7z2-4xy+4xz+9z+ 14 =0.