Навчання 4 КУРС / Лінії передавання інформації / Veryga_LPI / NetBook_Sovremenyje_setevyje_tehnokogyy_InterNet

Net Современные сетевые технологии, технологии Интернет

Для характеристики всего ансамбля (или источника) сообщений используется математическое ожидание количества информации, называемое энтропией и обозначае-

мое H(A):

В выражении (2.1) математическое ожидание, как всегда, обозначает усреднение по всему ансамблю сообщений. При этом должны учитываться все вероятностные связи между различными сообщениями.

Чем больше энтропия источника, тем больше степень неожиданности передаваемых им сообщений в среднем, то есть тем более неопределенным является ожидаемое сообщение. Поэтому энтропию часто называют мерой неопределенности сообщений. При этом имеется в виду неопределенность, существующая до того, как сообщение передано. После приема сообщения всякая неопределенность устраняется. Это позволяет трактовать количество информации как меру уменьшения неопределенности. Можно характеризовать энтропию также как меру разнообразия выдаваемых источником со-

P(a1) = P(a2) = 0,5 и равна log2, называемому 1 бит. Зависимость энтропии этого источника от P(a1) = 1 – P(a2) показана на Рис. 1.

чительно чаще, чем Ф) и, главное, зависимыми (так, после гласных не может появиться Ь; мала вероятность сочетания более трех согласных подряд; вероятность последовательности, не образующей осмысленных слов, практически равна нулю). Если рассматривать ансамбль текстов русской художественной прозы, то энтропия оказывается менее 1,5 бит на букву. Еще меньше, около 1 бит на букву, энтропия ансамбля поэтических произведений, так как в них имеются дополнительные вероятностные связи, обусловленные ритмом и рифмами. Если же рассматривать в качестве источника поток телеграмм, то его энтропия обычно не превышает 0,8 бит на букву, поскольку тексты довольно однообразны.

Net Современные сетевые технологии, технологии Интернет

Величина χ = (log K – H(A))/log K называется избыточностью источника с объемом алфавита K. Она показывает, какая доля максимально возможной при этом алфавите энтропии не используется источником.

Если источник вырабатывает сообщения с фиксированной скоростью, затрачивая в среднем время T на каждое сообщение, то энтропия сообщений, переданных за единицу времени

H ′( A) = T1 H ( A)

называется производительностью источника. Измеряется производительность в битах

всекунду.

2.2.Взаимная информация

Энтропия ансамбля характеризует среднее количество полной информации, содержащейся в сообщении. Определим информацию, содержащуюся в одном ансамбле относительно другого, например, в принятом сигнале относительно переданного сообщения. Для этого рассмотрим объединение двух дискретных ансамблей A и B. Это объединение можно интерпретировать как пару ансамблей сообщений, как ансамбли сообщения и сигнала, с помощью которого сообщение передается, как ансамбли сигналов на входе и выходе канала связи и т.д. Пусть P(ak,bl) — совместная вероятность реализаций ak и bl. Совместной энтропией ансамблей A и B называется величина

Условной энтропией называется величина

где P(ak | bl) — условная вероятность ak, если имеет место bl.

Ив теоремы умножения вероятностей P(a,b) = P(a)P(b | a) = P(b)P(a | b) следует,

что

H(A,B) = H(A) + H(B | A) = H(B) + H(A | B).

Для условной энтропии справедливо двойное неравенство

0 ≤ H(A | B) ≤ H(A).

При этом равенство H(A | B) = 0, как видно из (2.2), имеет место в том случае, когда при каждом значении bl, условная вероятность одной реализации P(ai | bl) = 1, а для всех остальных реализаций P(ak | bl) = 0. Это означает, что, зная реализацию B, можно точно установить реализацию A. Другими словами, B содержит полную информацию об A.

Другой крайний случай, когда H(A | B) = H(A), имеет место, если P(ak | bl) = P(ak) при всех a и b. Последнее равенство означает, что события A и B независимы. В этом случае знание реализации B не уменьшает неопределенности A, т.е. B не содержит никакой информации об A.

В общем случае условная энтропия H(A | B) меньше безусловной H(A) и знание реализации B снижает в среднем первоначальную неопределенность A. Естественно назвать разность H(A) – H(A | B) количеством информации, содержащейся в B относительно A. Ее называют также взаимной информацией между A и B и обозначают I(A,B):

Подставляя в (2.3) выражения (2.1) и (2.2), определим взаимную информацию через распределения вероятностей

1.I(A,B) ≥ 0, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда A и B независимы между собой.

2.I(A,B) = I(B,A), т.е. B содержит столько же информации относительно A, сколько A содержит относительно B.

3.I(A,B) ≤ H(A), причем равенство имеет место, когда по реализации B можно однозначно восстановить A.

4.I(A,B) ≤ H(B), причем равенство имеет место, когда по реализации A можно точно установить реализацию B.

Если A — ансамбль сигналов на входе дискретного канала связи, а B — ансамбль сигналов на его выходе, то величина

I ′( A, B) = T1 I ( A, B) = H ′( A) − H ′( A | B) = H ′(B) − H ′(B | A)

называется скоростью передачи информации по каналу связи.

Пример 1. Пусть H'(A) — производительность источника сигнала A, а H'(B) — «производительность» канала, т.е. полная собственная информация в принятом сигнале за единицу времени. Величина H'(A | B) представляет собой скорость «утечки» информации при прохождении сигнала через канал, а H'(B | A) — скорость передачи посторонней информации, не имеющей отношения к A и создаваемой присутствующими в канале помехами. Соотношение между H'(A | B) и H'(B | A) зависит от свойств канала. Так, например, при передаче телефонного сигнала по каналу с узкой полосой пропускания, недостаточной для удовлетворительного воспроизведения сигнала, и с низким уровнем помех теряется часть полезной информации, но почти не получается бесполезной. В этом случае H'(A | B) >> H'(B | A). Если же сигнал воспроизводится хорошо, но в паузах ясно прослушиваются «наводки» от соседнего телефонного канала, то, почти не теряя полезной информации, можно получить много дополнительной, как правило, бесполезной информации и H'(A | B) << H'(B | A). Эти соотношения наглядно иллюстрируются на Рис. 2. При отсутствии «утечек» и помех для передачи информации от передатчика к приемнику необходимо, чтобы скорость передачи информации от источника к приемнику I'(A,B) равнялась производительности источника H'(A).

Найквист вывел формулу, определяющую зависимость максимальной скорости передачи информации (данных) от ширины полосы пропускания. Если система или линия передачи обладает полосой пропускания, равной F (Гц), то максимальная скорость передачи данных Cmax = 2F, но в предположении, что на каждый сигнальный элемент приходится два уровня.

Формула Найквиста является следствием теоремы Котельникова (Найквиста): сигнал с ограниченной полосой частот F можно дискретизировать с периодом T=1/2F и далее полностью восстановить, подав этот импульсный сигнал на идеальный фильтр низких частот (ФНЧ) с частотой среза F (фильтр Найквиста).

При М уровнях на каждый сигнальный элемент максимальная скорость передачи данных С определяется по формуле Cmax = 2F log2M (бит/с).

Net Современные сетевые технологии, технологии Интернет

Пример 2. Пусть для передачи данных используется модем с восьмью уровнями сигнала на каждый сигнальный элемент. Передача данных осуществляется по телефонному каналу в полосе частот от 300 Гц до 3400 Гц. Тогда согласно формуле Найквиста максимальная скорость передачи данных равна Cmax = 2 (3400–300) log28 = 18600 бит/с.

Пример 3. Пусть A — источник последовательности элементарных сообщений (знаков) с объемом алфавита К и производительностью H'(A). Для передачи по дискретному каналу нужно преобразовать сообщения A в последовательность кодовых символов B так, чтобы эту кодовую последовательность можно было затем однозначно декодировать. Пусть I'(A,B) = H'(A) и I'(A,B) ≤ H'(B). Следовательно, необходимым условием для кодирования является H'(B) ≥ H'(A). Обозначим через Tk длительность кодового символа,

где lk = 1/Tk — число кодовых символов, а lc = 1/Tc — число сообщений, передаваемых в секунду.

Если для передачи по каналу связи используется двоичный код, то H(B) ≤ log 2 = 1. В этом случае условие (2.4) можно записать в виде

lk / lc ≥ H(A).

Но lk / lc представляет среднее число кодовых символов, приходящихся на одно элементарное сообщение. Таким образом, для возможности кодирования и однозначного декодирования сообщения необходимо, чтобы среднее число двоичных символов на сообщение было не меньше энтропии H(A).

Таким образом, по каналу связи сообщения нужно передавать со скоростью

lk = lc H(A) сообщений в секунду.

Если источник передает сообщения независимо и равновероятно H(A) = log K и K = 2n, H(A) = n и для передачи каждого сигнала использовать последовательность из n двоичных символов, то получится 2n = K различных последовательностей и можно каждому сигналу сопоставить и передавать одну из кодовых последовательностей.

2.3. Пропускная способность канала связи. Формула Шеннона.

Определим способность канала передавать подаваемую не его вход информацию. Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени l симво-

Net Современные сетевые технологии, технологии Интернет

лов из алфавита объемом m. При передаче каждого символа в среднем по каналу проходит следующее количество информации:

где B и B' — случайные символы на входе и выходе канала.

Энтропия H(B) передаваемого символа определяется источником дискретного сигнала и не зависит от свойств канала. Энтропии H(B'), H(B | B') и H(B' | B) зависят как от источника сигнала, так и от свойств канала.

Предположим, что на вход канала можно подавать символы от разных источников, характеризуемых различными распределениями вероятностей P(B), но при тех же значениях m и l. Для каждого такого источника количество информации, переданной по каналу, принимает свое значение. Максимальное количество переданной информации, взятое по всевозможным источникам входного сигнала, характеризует сам канал и называется пропускной способностью канала. В расчете на один символ

где максимизация производится по всем многомерным распределениям вероятностей P(B). Можно также определить пропускную способность C канала в расчете на единицу времени (секунду):

C = max I ′(B, B′) = lCсим , (бит/с).

P( B)

Последнее равенство следует из аддитивности энтропии.

Вычислим пропускную способность дискретного канала, вероятность ошибочного приема символа в котором не зависит от предыстории, то есть от того, какие символы передавались до него и как они были приняты. Предположим, что каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью р и правильно с вероятностью 1 – p, причем в случае ошибки вместо переданного символа b может быть с равной вероятностью принят любой другой символ. Таким образом, вероятность того, что принят символ bj', если был передан bi, равна

Вероятность того, что произошло l каких угодно ошибок, расположенных как угодно на протяжении последовательности длины n, определяется формулой Бернулли

l ошибок в блоке длиной n.

Эту модель называют биномиальным каналом. Она удовлетворительно описывает канал, если в непрерывном канале отсутствуют замирания, а аддитивный шум белый.

Согласно (2.5) и (2.6)

скольку условная переходная вероятность P(bj' | bi) принимает только два значения:

p/(m-1), если bj' ≠ bi, и 1 – р, если bj' = bi.

Поскольку рассматривается канал без предыстории, результаты приема отдельных символов независимы друг от друга. Поэтому

Net Современные сетевые технологии, технологии Интернет

сигнала (дисперсия U) не превышает заданной величины Pc. Мощность (дисперсию) шума в полосе F обозначим Рш. Отсчеты входного и выходного сигналов и шума N связаны равенством

и так как N имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием, то и условная плотность вероятности w(Z | U) при фиксированном U будет также нормальной величиной с математическим ожиданием U и дисперсией Рш.

Найдем пропускную способность на один отсчет:

Cотс = max[H (Z ) − H (Z |U )].

Дифференциальная энтропия H(Z | U) нормального распределения w(Z | U) не зависит от математического ожидания и равна log 2πePш . Поэтому для нахождения

Cотс = max[H (z) −log 2πePш ] нужно найти такую плотность распределения w(U), при

w(U )

которой максимизируется H(Z). Из (2.10), учитывая, что U и N - независимые случайные величины, имеем

D(Z) = D(U) + D(N) = Pc + Pш.

Таким образом, дисперсия Z фиксирована, так как Pc и Pш заданы. При фиксированной дисперсии максимальная дифференциальная энтропия обеспечивается нормальным распределением. При нормальном одномерном распределении U распределение Z будет также нормальным и, следовательно,

max H (z) = log 2πe(Pc + Pш )

w(U )

Поэтому пропускную способность С (за секунду), если U(t) — гауссов процесс с равномерной спектральной плотностью в полосе частот F (квазибелый шум), можно найти, сложив пропускные способности Сотс для 2F независимых отсчетов

Из формулы (2.11) видно, что если бы мощность сигнала Рc не была ограничена, то пропускная способность была бы бесконечной. Пропускная способность равна нулю, если отношение сигнал/шум Рc/Рш в канале равно нулю. С ростом этого отношения пропускная способность увеличивается неограниченно, однако медленно, вследствие логарифмической зависимости.

Соотношение (2.11) называют формулой Шеннона. Она определяет зависимость пропускной способности рассматриваемого непрерывного канала от таких его характеристик, как ширина полосы пропускания и отношение сигнал/шум. Формула Шеннона указывает на возможность обмена полосы пропускания на мощность сигнала и наоборот. Однако поскольку C зависит от F линейно, а от Рc/Рш по логарифмическому закону, компенсировать возможное сокращение полосы пропускания увеличением мощности сигнала, как правило, нецелесообразно. Более эффективным является обратный обмен мощности сигнала на полосу пропускания.

Пример 4. Предположим, что передача данных осуществляется по телефонному каналу с полосой пропускания шириной 3100 Гц, а отношение мощности сигнала к мощности шума равно 20 дБ.

Примечание. Отношение сигнал/шум (S/N) обычно выражают в децибелах по формулам S/N = 10 lg(Pс/Pш), (дБ), отношение по мощности, или S/N = 20 lg(Uс/Uш), (дБ), отношение по напряжению.

Net Современные сетевые технологии, технологии Интернет

Тогда S/N = 100 и C = 3100 log(1 + 100) = 20640 бит/с. При S/N = 10 дБ получим

C = 3100 log(1 + 10) = 10724 бит/с, что существенно меньше результата, полученного в Примере 2.

2.4.Передача сигналов по электрическим и оптическим трактам СКС

Для передачи сигналов на расстояния используются различные направляющие системы на основе медного или оптического кабеля. С конца 80-х годов разработчиками сетевых технологий передачи данных уделялось большое внимание исследованию характеристик и повышению скорости обмена данными в компьютерных сетях. В 1985 году Ассоциация электронной промышленности США приступила к подготовке стандарта по коммуникационным кабельным системам. В 1990 году появился первый документ — TIA/EIA – 569 «Стандарт для коммерческих зданий на кабельные пути телекоммуникационных кабелей», получившим дальнейшее развитие в стандарте TIA/EIA – 568. В последние несколько лет для описания правил построения кабельных систем в научной литературе появился новый термин — структурированная кабельная система

(СКС).

2.4.1.Передача электрических сигналов по витым парам

2.4.1.1.Способы передачи по витым парам

Существует два способа передачи сигналов по витым парам: несбалансированная передача (несимметричные цепи) и балансная передача (симметричные цепи). Кабели на основе медных витых пар, применяемые в СКС, позволяют строить как симметричные, так и несимметричные цепи. Все виды ЛВС используют балансную передачу сигналов по витым парам. Несимметричные цепи применяются для построения систем пожарных и охранных сигнализаций и для передачи постоянных питающих напряжений, например, от УАТС к телефонам на рабочих местах.

При несбалансированной передаче используется несимметричная цепь, то есть один из проводников заземляется с одной или с двух сторон. Сигналы передаются по остальным проводникам и изменяются относительно земли. По своей природе несимметричные цепи очень чувствительны к внешнему электромагнитному излучению (ЭМИ). Из Рис. 4 видно, что на входе приемника на сигнальном проводнике присутствует сумма напряжений сигнала Uс и наводок Uн от внешнего ЭМИ. Токи наводок на заземляющем проводнике стекают на землю, поэтому на нем Uн равно нулю. С другой стороны, сигнальный провод является источником излучения электромагнитной энергии во внешнее пространство. Это приводит к значительному затуханию сигнала в процессе его распространения. Некоторое улучшение характеристик несимметричных цепей достигается в случае использования общего заземленного экрана, однако такое решение существенно повышает стоимость и трудоемкость монтажа кабельной системы.

Еще одним недостатком несимметричных цепей является отсутствие гальванической развязки передатчика и приемника. При неисправностях в системе заземления или в защитной изоляции сетевого оборудования высокое напряжение от систем электропитания может попасть как на заземляющий, так и на сигнальный провод, что часто сопровождается выходом из строя приемопередающих устройств на одном или обоих концах линии связи.

Достоинством несимметричных цепей является то, что для передачи N сигналов требуется только N + 1 проводников (N сигнальных плюс один общий заземляющий).

Несимметричные цепи применяют для передачи низкочастотных сигналов на короткие расстояния. Широко известным ее примером является интерфейс RS-232 (V.24).

Схема симметричной цепи, в которой используется балансный принцип передачи информации, изображена на Рис. 5. В симметричных цепях приемник и передатчик гальванически развязаны друг от друга согласующими трансформаторами. Во вторичные обмотки передается только разность потенциалов на первичной обмотке. Из Рис. 5 видно, что токи наводки в полностью симметричной цепи приводят к противофазному изменению напряжения Uн на первичной обмотке трансформатора приемника, так что результирующий мешающий сигнал не передается во вторичную обмотку. Поэтому, в отличие от несимметричных, симметричные цепи значительно более устойчивы к внешним мешающим влияниям.

Внешнее ЭМИ

Uc +0,5 Uc +0,5 Uc + Uн Uc + Uн

Uc – напряжение сигнала

Uн – напряжение наводки

Рис. 5. Симметричная цепь

Соответственно ЭМИ проводников имеет равные по величине и противоположные по направлениям векторы электромагнитного поля ввиду противоположного направления токов в них. Поэтому в идеальной симметричной цепи суммарные векторы напряженности излучаемого электромагнитного поля равны нулю и излучаемое ЭМИ отсутствует.

Net Современные сетевые технологии, технологии Интернет

2.4.1.2.Первичные электрические параметры витой пары

Электрические свойства витой пары, как и любой другой направляющей системы электромагнитных колебаний, полностью характеризуются ее первичными параметрами: сопротивлением R и индуктивностью L проводников, емкостью между проводниками С, проводимостью G изоляции. Параметры R и G обусловливают потери энергии: первый — тепловые потери в проводе и экране (при его наличии), второй — потери в изоляции. Параметры L и С определяют реактивность витой пары как направляющей системы и, следовательно, ее частотные свойства. Конкретные значения первичных параметров зависят от конструкции кабеля и, в частности, от геометрии отдельных его компонентов, их взаимного расположения, материала проводников, изоляции и внешних покровов и т.д.

Конструктивно витая пара представляет собой два проводника, отделенных друг от друга слоем твердой изоляции и воздушным промежутком. Электрическая емкость между проводниками витой пары ограничивает ширину полосы пропускания кабеля и приводит к искажениям высокочастотной части спектра передаваемого сигнала.

Величина емкости не зависит от частоты. Однако из-за особенностей методов, применяемых в процессе ее определения, при указании величины емкости часто указывается значение частоты сигнала, на которой проводятся измерения. По стандарту TIA/EIA-568-А для кабелей категории 3 на длине 100 м емкость не должна превышать 6,6 нФ, а для кабелей категорий 4 и 5 — 5,6 нФ.

Активное сопротивление зависит от материала провода, его длины и сечения, а также от температуры. Проводники витых пар, применяемых в СКС, изготавливаются из меди, обладающей низким удельным сопротивлением. Согласно требованиям стандарта TIA/ EIA-568-A при температуре 20° С сопротивление по постоянному току любого проводника витой пары длиной 100 м не должно превышать 9,38 Ом.