spz / lect / NE_3_1_FMG

НЕ 3.2.ФОРМАЛЬНІ МОВИ ТА ГРАМАТИКИ

.

Ланцюжки і ланцюжки символів. Способи завдання мов. Операції над ланцюжками символів. Поняття мови. Визначення формальної мови. Визначення грамматики. Класифікація граматик. Способи задання схем грамтик Символічна, форма Наура-Бекуса, ітераційна форма й синтаксичні діаграми. Чотири типи граматик по Хомському. Правила побудови граматики із ланцюжка символів. Зв'язок регулярних множин, регулярних граматик та кінцевих автоматів. Алгоритм побудови КА по заданій граматиці.

безглуздою або навіть шкідливою. Але за правильну роботу програми формальна граматика й компілятор не відповідають.

Для того, щоб задати граматику, треба задати множини ТЕРМІНАЛЬНИХ і НЕТЕРМІНАЛЬНИХ символів.

Термінальні символи це символи які використовуються в мові.

послідовно перетворюється в усе більший ланцюжок символів. І так аж до того моменту, коли в послідовності символів залишаться тільки термінальні символи. Тобто буде отримане слово даної мови (по іронії долі називане РЕЧЕННЯМ). Всі послідовності символів, які в процесі безпосередніх породжень перебувають між початковим нетермінальним символом і кінцевим реченням й називаються сентенціальними формами.

Компілятор, одержавши програму, виконує зворотну роботу.

Отримане речення він згортає за граматичними правилами (тепер рухаючись від правої частини правила до лівого) початкового символу <програма>.

Звичайно існує величезна кількість варіантів як породження, так і згортання. Якщо згортання зазнало невдачі, то повинні досліджуватися інші варіанти. Слово буде визнано не приналежним даній мові (граматиці), якщо жоден з варіантів згортання не приведе до удачі. Оскільки такий перебір варіантів на практиці як правило неприйнятний, то й граматики намагаються довільного виду. А раз немає ніяких обмежень, то там може бути все, що завгодно й, отже, аналізувати їх неможливо. Так що мати з ними справа безглуздо.

Є досить груба, але, однаково, корисна в першому наближенні класифікація граматик, що належить Хомському. Він їх ділить на три типи, якщо не вважати нульового. До нульового він відносить граматики із граматичними правилами

Граматики першого типу називають КОНТЕКСТНО-ЗАЛЕЖНИМИ (або просто КЗ). У більшості випадків розумно прийняти загальне обмеження, що правило заміняє строго один нетермінальний символ. Відмінна риса Кз-правил у тім, що заміна нетермінального символу на рядок допускається, коли цей символ перебуває в деякім оточенні інших символів (у контексті).придумувати не випадкові, а з корисними властивостями. А способи згортання (розпізнавання) використовують ці гарні властивості, щоб мінімізувати або взагалі виключити блукання.

Наприклад, нетермінальний символ <оператор> може бути замінений на нетермінальний символ <порожній оператор>, якщо в преутвореному рядку перед символом <оператор> був інший символ, за яким безпосередньо слідував <оператор>. А інакше таку заміну робити не можна.

Представте наприклад, правило офіціанта. Здійснювати заміну брудної

Компілятори диктують вимогу приводити граматику до типу КВ. Звичайно в рамках уже цього типу накладаються додаткові обмеження, що дозволяє істотно спростити граматичний розбір у компіляторі.

Граматики останнього третього типу називаються АВТОМАТНИМИ або РЕГУЛЯРНИМИ. Це пов'язане з тим, що вони породжуються й розпізнаються автоматами (цю математичну модель асоціюють не з Калашниковим, а із прізвищами математиків-логіків Милі Мура

синтаксисом мови, а правила тлумачення, що описують зміст текстів називаються семантикою мови.

Формальна мова можна представити як множина речень, побудованих за певними правилами. Спосіб побудови речень формальної мови й правила побудови можуть бути визначені за допомогою формальних граматик. При цьому множина правил побудови називають схемою граматики, а порядок побудови визначається за допомогою поняття виведення. Як правило, за допомогою правил граматики можна будувати різні виведення, результатом яких є правила речень мови. Тому формальні граматики часто називають граматиками, що породжують, а виведення - процесом породження.

1.1. Визначення формальної граматики й мови

Первинними й найпростішими поняттями, необхідними для визначення формальної мови й граматики, є поняття алфавіту й слова в алфавіті.

Визначення: Кінцева множина символів, неподільних у даному розгляді, називається словником або алфавітом, а символи, що входять у множину, - буквами алфавіту.

Наприклад, алфавіт A = {a, b, c, +, !} містить 5 букв, а алфавіт B = {00, 01, 10, 11} містить 4 букви, кожна з яких складається із двох символів.

Визначення: Послідовність букв алфавіту називається словом або ланцюжком у цьому алфавіті. Число букв, що входять у слово, називається його довжиною.

Наприклад, в алфавіті A слово =ab++c має довжину l( ) = 5, а слово=00110010 в алфавіті B має довжину l( ) = 4.

Якщо задано алфавіт A, то позначимо A* множини усіляких ланцюжків, які можуть бути побудовані з букв алфавіту A. При цьому передбачається, що порожній ланцюжок, що позначимо знаком $, також входить у множини A*. Порожній ланцюжок – це ланцюжок, що не містить ні однієї букви. Приєднання до деякого ланцюжка порожнього ланцюжка, праворуч або

ліворуч від від неї, не змінює ланцюжок .

$ = $ =

Для визначення множини всіляких ланцюжків, побудованих із символів алфавіту А, що не містять порожнього ланцюжка, використовують позначення А+.

Визначення: Формальною граматикою Г називається наступна сукупність чотирьох об'єктів:

Г = { VТ, VA, <I>, R },

де VT - термінальний алфавіт (словник); букви цього алфавіту

називаються

термінальними символами; з них будуються ланцюжки,

породжувані граматикою; для позначення букв термінального словника, які називають

також термінальними символами, надалі вмовимося використовувати

рядкові букви латинського алфавіту;

VA - нетермінальний, допоміжний алфавіт (словник); букви

цього

алфавіту використовуються при побудові ланцюжків; вони можуть входити в проміжні ланцюжки, але не повинні входити в результат побудови;

умовимося для позначення нетермінальних символів використовувати

ідентифікатори, що складаються із прописних букв латинського алфавіту й

взяті в кутові дужки;

<I> - початковий символ або аксіома граматики <I> VA.

R - множина правил виведення або правил, що породжують,

,

де і - ланцюжка, побудовані з букв алфавіту VТ VA, що

називають повним алфавітом (словником) граматики Г.

У множині правил граматики можуть також входити правила з порожньою правою частиною виду <Е> . Щоб уникнути невизначеності через відсутність символу в правій частині правила, умовимося використовувати символ порожнього ланцюжка, записуючи таке правило у вигляді <Е> $.

Правила виведення граматики використовуються для побудови ланцюжків.

Визначення: Нехай r = - правило граматики Г и = ' " - ланцюжок символів,

причому ', " (Vт VA) *. Тоді ланцюжок = ' " може

бути отриманий з ланцюжка шляхом застосування правила r (тобто заміною в m ланцюжка на ).

У цьому випадку говорять, що ланцюжок безпосередньо виведений з ланцюжка і позначають .

Визначення: Якщо задано сукупність ланцюжків = (0, 1,...,n), таких що

існує

послідовність безпосередніх виведень:

0 1, 1 2, ... ,n-1 n,

те таку послідовність називають виведенням n з 0 у

граматиці Г і позначають

0 * n.

Визначення: Множина кінцевих ланцюжків термінального алфавіту Vт

граматики Г,

виведених з початкового символу <I>, називається мовою,

породжуваною

граматикою Г и позначається L( Г).

L( Г ) = {VТ* | <I> * }.

Розглянемо кілька прикладів, що ілюструють уведені поняття:

Приклад 1:

Задано граматику Г1.1, потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою:

Г1.1: VТ = {a, b, c}, VА = {<I>}, R = {<I> abc}.

Схема граматики містить одне правило, тому Г1.1 породжує мову з одного слова

L(Г1.1) = {abc}.

Приклад 2:

Задано граматику Г1.2 і потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою.

Г1.2 : VТ = {a, b, c}, VА = {<I>, <B>, <C>} R = { <I> a<B>,

<B> <C>d, <B> dc,

<C> $}.

Побудуємо всі виведення в цій граматиці. Це можна зробити двома способами. Спочатку застосуємо правила 1,2,4, а потім побудуємо друге виведення, використовуючи правила 1 і 3. У результаті одержимо:

<I> a<B> a<C>d ad,

<I> a<B> adc.

Отже мова, породжувана цією граматикою, складається із двох ланцюжків

L(Г1.2) = {adc, ad}.

Приклад 3:

Задано граматику Г1.3 і потрібно визначити мову, яка породжена цією граматикою.

Г1.3 : VА = {<I>, <A>}, VТ= {0, 1}, R = {<I> 0<A>1,

<A> 0<A>1, <A> $}.

Схема наведеної граматики містить три правила. Друге правило містить нетермінальний символ <А> як у лівій, так і в правій частині правила. Такі

r =

може бути побудоване з використанням довільних ланцюжків (Vт Va)*. Наприклад,

<T> <W> <W> <T> або x <A> b <C> <D> x <H> <D>.

Граматики типу 1, які називають також контекстно-залежними граматиками, не допускають використання будь-яких правил. Правила виведення в таких граматиках повинні мати вигляд:

1 <A> 2 1 2,

де 1, 2 - ланцюжки, можливо порожні, з множини (Vт Va)*, символ <А>Va і ланцюжок ω (Vт Va)*. Ланцюжки 1 і 2 залишаються незмінними при застосуванні правила, тому їх називають контекстом (відповідно до лівим й правим), а граматику - контекстно залежною.

Граматики типу 1 значно зручніше на практиці, ніж граматики типу 0, оскільки в лівій частині правила заміняється завжди один нетермінальний символ, який можна зв'язати з деяким синтаксичним поняттям, у той час як у граматиці типу 0 можна заміняти відразу кілька символів, у тому числі й термінальних.

Наприклад, граматика:

Г1.5:

VТ = {a, b, c, d}, VА = {<I>, <A>, <B>} R = { <I> a <A> <I>,

<A> <I> <A> <A> <I>,

<A> <A> <A> <A> <B> <A>, <A> b,

b <B> <A> b c d <A>,

b<I> b a }

єконтекстно-залежною, оскільки друге й шосте правила мають непустий лівий контекст, а третє й п'яте правила містять обидва контексти. Виведення у такій граматиці може мати вигляд:

<I> a<A><I> a<A><A><I> ab<A><I> abb<I> abba.

Граматики типу 2 називають контектно-вільними й бесконтекстными граматиками (КВ-граматики або Б-граматики). Правила виведення таких граматик мають вигляд:

<A> ,

де <A> VА й (VТ VА)*.

Очевидно, що ці правила виходять із правил граматики типу 1 за умови1 = 2 = $. Оскільки контекстні умови відсутні, то правила КВ-граматик виходять простіше, ніж правила граматик типу 1. Саме такі граматики

використовуються для опису мов програмування. Прикладом КВ-грамматики може служити наступна граматика:

Г1.6: VТ= {a, b}, VА = {<I>}, R = { <I> a<I>a,

<I> b<I>b, <I> aa,

<I> bb}.

Ця граматика породжує мову, що складається з ланцюжків, кожна з яких у свою чергу складається із двох частин, ланцюжка VТ* і дзеркального

відображення цього ланцюжка '.

L( Г1.6 ) = { ' | VТ+},

де VТ+ - це множина VТ* без порожнього ланцюжка. За допомогою правил цієї граматики може бути побудований ланцюжок виводу:

<I> a<I>a ab<I>ba aba<I>aba ababbaba.

Граматики типу 3 називають автоматними граматиками (А -

граматиками). Правила виведення в таких граматиках мають вигляд:

<A> a або <A> a <B> або <A> <B> a,

де a VТ, і <A>, <B> VА, причому граматика може мати тільки правила виду

<A> a <B> - праволінійні правила, або тільки виду <A> <B> a - ліволінійні правила.

Прикладами автоматних граматик можуть служити праволінійна граматика Г1.7 і ліволінійна граматика Г1.8

Г1.7: VТ = {a, b}, VА = {<I>, <A>}, R = { <I> a <I>,

<I> a <A>, <A> b <A>, <A> b <Z>, <Z> $ }.

Г1.8:

VТ= {a, b}, VА = {<I>, <A>}, R = { <I> <A> b,

<A> <A> b, <A> <Z> a, <Z> <Z> a,

<Z> $ }.

Ці граматики проджують ту саму мову. Якщо позначати ланцюжки, що складаються з k однакових символів x як xk, наприклад x4 = xxxx, то

породжувану цими граматиками мову можна визначити в такий спосіб:

L(Г1.8) = { anbm | n,m > 0}.

Класифікація мов може бути побудована відповідно до типу граматик, що породжують мову. Та сама мова може бути задана різними граматиками, які можуть бути граматиками різних типів. Тому тип мови визначають по типу тієї граматики, що не може бути представлена граматикою типу k+1.

Наприклад, якщо граматика типу 2 містить правило виду

<А> a1 a2 <B> a3 a4,

те перетворити її в автоматну граматику не можна. Отже, мова, породжувана такою граматикою, відноситься до мов типу 2. Якщо ж схема граматики типу 2 містить правила виду

<А> a1 a2 a3 a4 <B>,

то, таку граматику можна перетворити до граматики типу 3 і, отже, мова, породжена цією граматикою, є мовою типу 3.

Якщо позначити множину мов типу k виразом {Lтипаk}, то відношення між множиною мов різних типів можна визначити за допомогою наступного

включення:

{ L типу3 } { L типи2 } { L типу1 } { L типу0}.

При цьому доведено, що існують мови типу 0, що не є мовами типу 1, мови типу 2, що не є мовами типу 1, і мови типу 3, які не є мовами типу 2.

Найбільше практичне застосування знаходять граматики типу 2 і типи

3.

Прийоми побудови граматик

Завдання побудови формальних граматик полягає в тому, що для заданої у вигляді опису природною мовою множини кінцевих ланцюжків, потрібно побудувати формальну граматику, що породжує цю множину ланцюжків. З врахуванням того, що термінальний словник граматики повинен включати всі символи, використовувані для побудови ланцюжків, що входять у задану множин, результатом рішення завдання повинні з'явитися нетермінальний словник і схема граматики. Побудова цих об'єктів є досить складною, оскільки вона повинна виконуватися неформально й вимагає уявного охоплення всіляких варіантів побудови ланцюжків заданої множині й синтезу правил їхньої побудови. Побудова ускладнюється ще й тим, що вона, як і всяке інше завдання синтезу, має багато рішень.

Основою створення правил граматики є спосіб виділення структури заданої множини ланцюжків. Цей спосіб передбачає розчленовування ланцюжків, що входять у задану множину на частини таким чином, щоб виявити повторювані частини ланцюжків і частини, що входять в усі ланцюжки в незмінному виді. Таке розчленовування на частині являє собою виявлення структури ланцюжків заданої множини.