0 Введение

ВВЕДЕНИЕ

Человеческий разум является математическим: он стремится к точности, к измерению, к срав­нению. ...Без математического воспитания и образования невозможно ни понять прогресс нашей эпохи, ни принять в нем участие.

М. Монтессори «План детей Земли»

Когда Монтессори называла человеческий ум "математическим умом", она подразумевала под этим, что математика не является неким особым сложным явлением, суть которого могут постичь только исключительно одаренные личности, но что она есть нечто присущее человеку, связанное с его жизнью. Следование неким алгоритмам, построение последовательностей, классификация - все это проявления математического мышления. Таким образом, вся человеческая культура , и прежде всего высокоразвитая техника и современная индустрия, целиком и полностью опирается на математику. Уже во времена шумеров (около 3000 лет до н.э.) человек умел считать и измерять. Но еще задолго до этого развивались ремесла и торговля, имеющие в своей основе математическую природу. То же самое относится к ребенку. Поначалу он имеет конкретный опыт обращения с многочисленными предметами, а позже переходит к абстрагированию на основе приобретенных знаний.

Развитие элементарных математических представлений или подготовка к изучению математики в системе Монтессори осу­ществляется посредством сенсорного воспитания детей и на уп­ражнениях по овладению навыками практической повседневной деятельности. При этом существенную помощь ему оказывают Монтессори-материалы для развития чувств, представляющие собой "материализованные абстракции". Именно эти материалы открывают ребенку путь к математическому познанию мира. Отсюда ясно, почему Монтессори назвала их "базовые математические материалы". Розовая башня, коричневая лестница, красные штанги, блоки с цилиндрами-вкладышами и т. д. опосредованно подготавливают ребенка к усвоению математических знаний.

Подготовка к изучению математики происходит главным об­разом опосредованно, и большинство абстрактных понятий, с ко­торыми ребенок встретится в дальнейшем при изучении мате­матики, могут быть введены на основе тех конкретных представ­лений, которые у него уже имеются, а иногда и с помощью тех же материалов, с которыми он работал ранее на сенсорном уров­не. Вот как объясняет смысл подобной опосредованной подготов­ки Марио М. Монтессори, внук Марии Монтессори: «Формиро­вание подсознательного знания является аккумуляцией впечатле­ний, зарегистрированных бессознательно, но сохраненных в под­сознании. ...Косвенная подготовка была бессознательным или це­ленаправленным объединением в притягательном чувственном опыте предпосылок, которые будут подготавливать способность, необходимую для дальнейшей задачи».

Мария Монтессори отмечала значение доматематической подготовки детей посредством сенсорных материалов: «У детей уже есть все те инстинктивные познания, которые необходимы как подготовительная ступень к восприятию идей нумерации, числа.

Понятие количества входило во все упражнения для воспита­ния чувств: длиннее, короче, темнее, светлее. Также понятия тож­дества и различия составляли часть техники развития внешних чувств; упражнения начинались с распознавания тождественных объектов и переходили в группировку в известной градации похо­жих предметов».

Можно выделить пять этапов работы с сенсорными материалами:

1. работа с предметами, наиболее контрастирующими по со­стоянию исследуемого свойства или обладающими этим свойством в его «основных» проявлениях;

2. составление пар одинаковых по состоянию этого свойства предметов;

3. градация или построение сериационного ряда по степени изменения исследуемого свойства;

4. упражнения на:

повторение показанного способа действия с предметами и ре­шения предлагаемой задачи практического и познавательного ха­рактера в целом,

применение показанного способа действия к другим предме­там из того же материала,

модификацию показанного способа действия с предметами,

овладение другими — более сложными или открывающими новые возможности исследования свойств предметов — способа­ми действия с теми же предметами,

применение полученных представлений о свойствах предметов и освоенных способов действия в реальной жизни;

5) расширение словарного запаса за счет усвоения и использо- вания новых терминов, описывающих свойства и отношения пред- метов и явлений действительности.

Остановимся подробнее на описании некоторых этапов работы.

Развитие элементарных математических представлений происходит через различение, составление пар, сериацию. Смысл начального этапа работы с материалом со­стоит в том, чтобы получить первое впечатление об исследуемом свойстве, ощутить различие предметов по состоянию этого свой­ства, если различие проявляется в наибольшей степени, допускае­мой данным материалом, ощутить контраст. Так, например, для первого этапа рабо­ты с геометрическими телами учитель выбирает три тела, наибо­лее контрастирующие по форме, — как правило, куб, шар и ко­нус; а с цветными табличками — ящик с шестью табличками трех чистых цветов спектра: красного, желтого и синего. Знакомство с размерами начинается с предъявления ребенку двух наиболее кон­трастных цилиндров из блока — чаще всего самого толстого и самого тонкого или самого большого и самого маленького. Для различения и составления пар музыкальных тонов первоначально выбираются три пары звоночков: самого низкого, самого высоко­го и одного из промежуточных тонов. Работа с серией материа­лов, предназначенных для знакомства с формой плоских фигур, начинается с обследования формы трех «основных» фигур — квад­рата, круга и треугольника — путем обведения пальцами фигуры-вкладыша и соответствующего ей отверстия, а также сопоставле­ния фигуры с отверстием. «Если хотят установить вес предметов, сначала демонстрируют несколько самых легких и несколько са­мых тяжелых табличек из серии; с шумами предлагают обе край­ности градуированного ряда...»

Составление пар. Первый этап работы неотделим от второго — нахождения пар предметов, одинаковых по состоянию какого-либо свойства — по цвету, вкусу, запаху, звучанию, форме и т.д. «Чтобы дать еще более полное понятие различий, хорошо пере­мешать с наиболее сильными контрастами "идентичности"... для чего берут удвоенную серию предметов. Так, например, в двух одинаковых перемешанных сериях, в которых все предметы нахо­дятся в беспорядке, должны быть найдены одинаковые, которые образуют пару... Упражнение по поиску одинакового среди кон­трастов очень сильно фиксирует различия и делает их через это заметными». На первых двух этапах работы с сенсорны­ми материалами у ребенка начинает формироваться, таким обра­зом, представление о различии и равенстве.

Нахождение пар наряду со сравнением и констатацией того фак­та, что предметы различны или равны по данному свойству, вклю­чает, по существу, установление взаимно-однозначного соответ­ствия между элементами двух множеств, которое, как известно, является одним из случаев функциональной зависимости.

Сортировка представляет собой классификацию предметов на основании какого-либо свойства, в данном случае по весу. При этом каждый объект попадает в какой-нибудь класс, причем только в один, а объекты, попавшие в один и тот же класс, идентичны в отношении какого-либо свойства.

Пример классификации — сор­тировка орехов. Несколько видов орехов, например, грецкие, зем­ляные и каштаны — кладут вперемешку в центральное отделение коробки или плоской корзины, а затем, вынимая по одному оре­ху и ощупывая, раскладывают их в другие, предназначенные для этого отделения, так что разные виды орехов оказываются в раз­ных отделениях, а орехи одного вида — в одном и том же. Класси­фикация производится здесь, очевидно, по форме предметов.

Основной алгоритм работы с цветными табличками из перво­го и второго ящиков предполагает последовательный выбор из разложенных в беспорядке табличек какой-либо одной и подбор к ней парной. Здесь мы снова имеем дело с классификацией, на этот раз по цвету. Каждый класс в этом случае содержит лишь два объекта. Начало работы с конструктивными треугольниками так­же предполагает сортировку находящихся в беспорядке фигур раз­ной формы и цвета. Далее мы встретимся и с другими примерами классификации.

Сериационные ряды. «Заключительное упражнение на диффе­ренциацию, — пишет Монтессори, — состоит в том, чтобы при­вести в правильный порядок градуированный ряд беспорядочно смешанных друг с другом предметов... с систематически разде­ленным по степеням различием». Так, например, розо­вая башня представляет собой набор из 10 кубов, длины ребер которых меняются от 1 до 10 см, а коричневая лестница — набор из 10 призм одинаковой высоты 20 см с квадратным основанием, причем длины сторон квадратов также меняются от 1 до 10 см.

Если речь идет о дифференциации оттенков цвета, для этого предназначен третий ящик цветных табличек с табличками 7 от­тенков 9 разных цветов. Для градации температур, шумов или му­зыкальных тонов берут одну серию бутылочек, коробочек или зво­ночков.

«Геометрический комод» содержит ящик с шестью кругами раз­ного диаметра, а также ящик с прямоугольниками одинаковой длины и переменной ширины, что делает возможным упражне­ния на построение сериационного ряда в зависимости от измене­ния размеров плоских фигур. Блоки с цилиндрами-вкладышами или ящики с цветными цилиндрами, содержащие по 10 цилинд­ров переменной высоты, диаметра или их обоих в прямой и об­ратной зависимости, предполагает то же самое в отношении раз­меров пространственных тел.

Построить сериационный ряд означает установить отношение неравенства на некотором множестве объектов, если у этих объек­тов возможно обнаружить различные степени проявления иссле­дуемого свойства.

Рассмотрим теперь сам процесс построения сериационного ряда, например, по убыванию исследуемого свойства. Суть его состоит в последовательном выборе из имеющихся, еще не упо­рядоченных предметов такого, который превосходит остальные по степени проявления данного свойства, т. е. предмета, у которо­го этого свойство проявляется в наибольшей степени. Так, при построении розовой башни каждый раз выбирают наибольший куб, коричневой лестницы — самую толстую призму, лестницы из красных штанг — самую длинную штангу, последовательности цветовых оттенков — табличку самого насыщенного тона, ряда шумящих коробочек — коробочку с самым громким шумом, пос­ледовательности шершавых дощечек — дощечку с наиболее грубо обработанной поверхностью и т.д. По существу, мы имеем дело с одним и тем же алгоритмом, если под алгоритмом понимать сово­купность операций, выполняемых в строго установленном поряд­ке для решения однотипных задач.

Алгоритмы в подобном широком смысле слова встречаются, как в науке, так и в реальной жизни, очень часто. Так, например, можно говорить об алгоритмах выполнения четырех основных ариф­метических действий, отыскания корней квадратного уравнения, перехода через улицу и завязывания бантов, приготовления супа и т.д. Умение решать задачу в общем виде предполагает владение алгоритмом ее решения.

Алгоритм имеет оперативно-логическую структуру, что подра­зумевает выявление в сложном действии более простых, пред­ставление его в виде последовательности шагов. Так, в алгоритме построения сериационного ряда можно выделить следующие пред­писания:

1. привести предметы в беспорядочное состояние;

2. если есть еще не упорядоченные предметы, то перейти к предписанию 3, иначе — к предписанию 5;

3. выбрать из них наибольший по степени проявления данно­го свойства;

4. поместить его в конец готовой части ряда и вернуться к предписанию 2;

5)закончить работу.

Обратимся к не­скольким материалам, основные алгоритмы работы с которыми отличаются от описанных выше, хотя на ее начальном этапе и могут включать сортировку. Речь пойдет о «продвинутых материа­лах» — конструктивных треугольниках, геометрических телах, биномиальном и триномиальном кубах. Все эти материалы, рабо­та с которыми первоначально производится на сенсорном уров­не, используются далее в математике для введения ряда понятий.

Имеется пять ящиков с конструктивными треугольниками. Фи­гуры из первого ящика позволяют показать, как из двух конгру­энтных неравносторонних прямоугольных треугольников можно поочередно построить три различные фигуры — прямоугольник и два неконгруэнтных параллелограмма; из двух конгруэнтных рав­нобедренных прямоугольных треугольников — две фигуры: квад­рат и параллелограмм. Из двух конгруэнтных равносторонних тре­угольников получается только одна фигура — ромб, а из двух не­

конгруэнтных треугольников, если, конечно, их подобрать соот­ветствующим образом, можно построить трапецию. Посредством голубых треугольников из второго ящика показывают, как пере­численные выше фигуры, принадлежащие одной и той же «це­почке», преобразуются друг в друга.

В третьем (треугольном) ящике содержатся четыре конгруэнт­ных друг другу равносторонних треугольника, три из которых раз­делены на 2, 3 и 4 конгруэнтные части соответственно, а один — целый. Линии деления представляют собой высоту, биссектрисы — которые в случае равностороннего треугольника являются одно­временно его медианами — и средние линии. Точка пересечения биссектрис треугольника является, как известно, центром впи­санной в него окружности.

Четвертый (малый шестиугольный) ящик предназначен для де­монстрации того факта, что правильный шестиугольник может быть построен из двух конгруэнтных трапеций, трех ромбов или шести равносторонних треугольников без преобразования их. С по­мощью фигур пятого (большого шестиугольного) ящика можно показать, что правильный шестиугольник возможно также постро­ить из двух больших равносторонних треугольников или трех па­раллелограммов, предварительно разрезав их подходящим образом.

Очевидно, что точный смысл выражения «может быть постро­ен из... не преобразовывая их» возможно передать с помощью понятия «конгруэнтность». Действительно, правильный шести­угольник, построенный из двух трапеций, конгруэнтен шестиуголь­нику, построенному из трех ромбов или из шести маленьких рав­носторонних треугольников, что подтверждается с помощью на­ложения их друг на друга в процессе работы с этим материалом. Сказанное справедливо и для фигур треугольного ящика — конгруэнтность составленных из нескольких частей треугольников целому треугольнику подтверждается наложением, — а также для фигур из первых двух ящиков, когда, например, конгруэнтность голубого прямоугольника из второго ящика и серого прямоуголь­ника из первого ящика подтверждается посредством их совмеще­ния друг с другом.

Фигуры пятого (большого шестиугольного) ящика косвенным образом отлично подготавливают ребенка к последующему зна­комству с понятием равновеликие фигуры. Равносоставленные фигуры — еще одно геометрическое понятие, потен­циально присутствующее в материале. На примере фигур из тре­тьего и четвертого ящиков также можно обсуждать понятие «рав­новеликие фигуры».

Школьный математический материал Монтессори предпола­гает знакомство с понятиями «конгруэнтные» и «равновеликие фигуры», в том числе с использованием конструктивных тре­угольников.

Процесс работы с большим шестиугольным ящиком индирективно использует понятие «эквивалентность» и свойства рефлек­сивности, симметричности и транзитивности отношения эквива­лентности. Действительно, серый параллелограмм преобразуют в красный ромб, показав тем самым, что они равновелики (параллелограмм эквивалентен ром­бу). Далее ромб трижды накладывают на шестиугольник, показы­вая, что три таких ромба равновелики шестиугольнику (фигура, являющаяся объединением трех ромбов, эквивалентна шестиуголь­нику). Наконец, делают вывод, что шестиугольник можно постро­ить из трех параллелограммов, или, по существу, он равновелик трем параллелограммам (фигура, являющаяся объединением трех параллелограммов, эквивалентна шестиугольнику, следовательно, шестиугольник эквивалентен этой фигуре). В данном случае в ка­честве отношения эквивалентности выступает отношение равновеликости.

Отношение конгруэнтности тоже является отношением экви­валентности, и свойства рефлексивности, симметричности и тран­зитивности также неявно используются при работе с конструк­тивными треугольниками. Так, например, чтобы удостовериться, что все построенные из частей треугольники из треугольного ящика при наложении совпадают друг с другом, или, по сути, конгру­энтны друг другу, можно каждый из них положить на целый се­рый треугольник и убедиться, что все они ему конгруэнтны, и сделать вывод об их конгруэнтности друг другу.

В связи с конструктивными треугольниками нельзя не затро­нуть понятия целого и части, а также некоторые проблемы, свя­занные с вычислением площадей. С помощью этих треугольников ребенок учится, по существу, составлять целое из двух (напри­мер, квадрат, параллелограмм, ромб, треугольник), трех (тре­угольник, трапеция), четырех (треугольник, шестиугольник) и шести частей (шестиугольник). Он видит, что целое может быть разделено на 2, 3, 4 равные части, как, например, треугольники из треугольного ящика. Он узнает также, что одно и то же целое может быть по-разному разделено на равные части, например: шестиугольник из малого шестиугольного ящика состоит из шес­ти одинаковых равносторонних серых треугольников или же из шести одинаковых красных равнобедренных треугольников, не­конгруэнтных серым.

Таким образом, работа с ящиками «конструктивных треугольников» объективно со­здает прекрасную базу для последующего введения геометрических понятий в школе.

Приведем также пример существительных, вводимых посред­ством материалов «геометрический комод» и «геометрические тела». В ящиках «геометрического комода» имеются всевозможные фи­гуры — треугольники разной формы, круги и прямоугольники разнообразных размеров, квадрат, правильные многоугольники, ромб, параллелограмм, трапеция, эллипс, овал и т.д. Геометри­ческие тела включают, как уже говорилось выше, шар, эллипсоид, овоид, куб, тре- и четырехугольную призмы, тре- и четырехуголь­ную пирамиды, цилиндр и конус. Ряд этих названий непосредствен­но отражают определенные свойства фигур. Например, фигура будет называться тре-, четырех- или многоугольником в зависи­мости от того, сколько у нее углов. Параллелограмм — это четы­рехугольник, противоположные стороны которого попарно па­раллельны. Другие термины происходят от названий конкретных предметов: название «ромб» происходит от слова «волчок», «тра­пеция» — от слова «столик», «конус» — «сосновая шишка» и т.д.

Упомянутые термины изучаются уже в детском саду. Позже, большей частью уже в школе, с помощью тех же материалов, а также конструктивных треугольников ребенок знакомится с клас­сификацией треугольников по величине углов и длине сторон, с особыми линиями в треугольнике — высотами, медианами, бис­сектрисами, средними линиями, — а также с рядом других тер­минов планиметрии — прямой, углом, стороной, катетом, гипо­тенузой, радиусом, диагональю, площадью и т.д. — и стереомет­рии — гранью, ребром, образующей, основанием, плоскостью, объемом и т.д. Данный список можно было бы расширить, но, как нам кажется, приведенных примеров вполне достаточно для подтверждения того тезиса, что посредством сенсорных материа­лов словарный запас ребенка может быть существенно пополнен терминами, полезными для изучения математики.

Когда ребенок сравнивает, упорядочивает, измеряет, ритмизирует и т. д., речь уже идет о проявлениях математического мышления. Детский ум одновременно впитывает многообразный сенсорный и моторный опыт, естественно развивая при этом математические способности. Ребенок довольно рано может овладеть математическими знаниями, и математика станет для него такой же близкой и естественной, как речь.

Математические материалы тесно связаны с материалами для развития чувств. Например, в математических материалах имеются синекрасные штанги той же формы и размера, что и красные штанги в материалах для развития чувств. Ребенок получает представление о числе и переходит к счету, у него возникает понятие о структуру десятичной системы, он постигает суть основных математических операций ("Золотой материал" из бусин).

Математические Монтессори-материалы соответствуют сенсомоторным потребностям ребенка. Работа с этими материалами дает ребенку возможность прийти к удивительным открытиям и одновременно приобрести точный поход, необходимый в математике. После тщательного разъяснения, как обращаться с математическим материалом, ребенок переходит к многочисленным упражнениям на повторение основных действий. Длинные серии упражнений дают ребенку возможность самостоятельно применять полученные результаты и учиться абстрагировать.

Младшие дети на конкретном материале могут решать даже такие задачи, которые на первый взгляд кажутся сложными. Монтессори-материалы составлены так, чтобы была ясно видна связь арифметики и геометрии. Например, материал из блестящих бусин помогает ребенку не только сформировать понятие о числах и операциях с ними, но и ясно представить одну бусину как точку, десяток - как прямую, сотню - как квадрат десяти, тысячу - как куб десяти. Вычисление площадей и объемов, возведение в степень и извлечение корня - все это различные примеры взаимосвязи арифметики и геометрии. Отсюда единство математики осязаемо и понятно. Плоские геометрические фигуры-вкладыши, геометрические тела и конструктивные треугольники, которые применялись в материалах для развития чувств, опосредованно знакомили ребенка с геометрией.

Монтессори-педагоги видят математическое образование детей как единое целое. Они хотят сделать ребенка способным при помощи математического мышления постичь мир природы, культуру и в хорошем смысле научиться владеть ими.

Классификация математических материалов

Математические материалы Монтессори предназначены для детей в возрасте от 4 до 12 лет. Изучение математики начинается со знакомства при помощи конкретного материала со счетом до 10, с цифрами 0—9 и числом 10. Особое внимание уделяется про­яснению смысла нуля как символа, обозначающего отсутствие чего-либо, «ничего», «пустое место». Ребенок делает также ряд упражнений, опосредованно подготавливающих его к последую­щему усвоению понятий «четное» и «нечетное число» и выполне­нию операций сложения и вычитания, однако сами операции на этом этапе не вводятся.

Особый интерес, по нашему мнению, представляет собой даль­нейший ход мысли автора. Именно он отражает одну из важнейших особенностей подхода Монтессори к обучению детей математике.

С первых шагов в обучении математике Монтессори стремится донести до ребенка ключевую концепцию десятичной системы счис­ления, «которая основана на переходе от одного десятка к друго­му, от девяти к десяти. После десяти мост рушится; начинается новый десяток». Знания и умения, приобретенные ре­бенком в процессе работы с материалами первой группы, состав­ляют необходимый инструментарий для дальнейшего исследова­ния десятичной системы. Как полагает Монтессори, «последова­тельный счет интересен только тому, кто понял ведущий прин­цип групп десятичных разрядов».

Уже на материалах второй группы ребенок знакомится с коли­чествами, представляющими единицы разных разрядов чисел: с отдельными золотыми бусинами-единицами; стержнями-десятка­ми, на которых нанизано по 10 бусин-единиц; квадратами-сотня­ми, состоящими из 10 стержней-десятков; кубами-тысячами, об­разованными 10 квадратами-сотнями. Соответствующие им сим­волы — сначала 1, 10, 100 и 1000, а затем и 20, 30, 90; 200, 300, 900 и 2000, 3000, 9000 (числа 2, 3, 9 ребенку уже известны) вводятся посредством набора карт. С их помощью осу­ществляется построение десятичной системы счисления, так что ста­новится действительно очевидно, что каждый разряд содержит не более 9 единиц.

При последующем построении многозначных чисел преследует­ся цель продемонстрировать ребенку их общую структуру, посред­ством материала из золотых бусин показать, из единиц каких раз­рядов состоит число. При этом начинают непосредственно с четы­рехзначных чисел. Важно отметить, что на данной стадии ребенку не обязательно сразу же запоминать правильные названия чисел (обычно это происходит немного позднее в процессе работы с материалами третьей группы). Ему нужно прежде всего ясно по­нимать, сколько единиц каждого разряда содержит число, и уметь называть их. Так, например, число 5678 он может прочесть следу­ющим образом: «Пять тысяч, шесть сотен, семь десятков, восемь единиц». Вот как комментирует данный материал Мария Монтес­сори: «Второе упражнение состоит в построении больших чисел. С этой целью предложено представить материал в такой форме, которая отражает идею десятичной системы, а не ассоциацию чисел с соответствующими предметами...».

Непосредственно после введения многозначных чисел перехо­дят к четырем арифметическим действиям с ними: сложению, вы­читанию, умножению и делению. Здесь снова ставится цель — по­казать общий алгоритм, раскрыть смысл этих операций, а поэто­му, вообще говоря, не играет существенной роли, на примере каких чисел это происходит. Золотой материал позволяет пред­ставлять с помощью бусин числа, состоящие не более чем из че­тырех цифр, поэтому арифметические операции демонстрируют с использованием трех- или четырехзначных чисел, читать кото­рые можно, как и прежде, называя разряды. Основное значение придается процессу, ходу действия, а не его результату.

Суть операции сложения состоит в образовании из нескольких «маленьких» множеств (множеств с меньшим количеством элемен­тов) одного «большого» (множества с ббльшим количеством эле­ментов). Действие вычитания выступает как процесс «отнятия» от «большого» множества «меньшего», т. е. разделения исходного мно­жества на две, вообще говоря, неравные части. Операция умноже­ния предстает как повторение, сложение нескольких равных мно­жеств, а операция деления — как разделения исходного множе­ства на несколько равных частей. «Операции состоят в том, чтобы сложить вместе равные или неравные количества, или от целого отнять некоторую его часть, или разделить его на равные части. Это операции. То, что происходит внутри чисел, относится к деся­тичной системе, а не к операциям. А что же происходит тогда в десятичной системе? Это очень просто: собрание более десяти граж­дан запрещено. Если приходит десятый, возникает новая личность. Это переход от девяти к десяти».