1. Означення, границя та неперервність функції кількох змінних. Лінії та поверхні рівня. Приклади.

Число А називається границею функції z = f (x, y) у точці M₀, якщо для будь-якої збіжної до M₀ (x₀, y₀) послідовності точок M₁, M₂, ..., M_n, ... (M_n< >M₀, M_n Є D) відповідна послідовність значень функції f(M₁), f(M₂), ..., f(M_n ), ... збігається до А. Коротко це записують так:

Функція z = f (x, y) називається неперервною в точці M₀ , якщо границя функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто:

Лінією рівня називають множину точок з області визначення функції двох змінних, для яких вона має сталі значення. Приклад: побудуємо лінії однакового рівня функції . При C=0 маємо тобто x2+y2=100 (коло з радіусом r=10).

Поверхнею рівня скалярного поля називають геометричне місце точок, в яких значення функції поля f(x,y,z) однакове.

Рівняння поверхні рівня: f(x,y,z) = c.

2. Частинні похідні функції кількох змінних. Градієнт та його геометричний зміст.

Частинна похідна функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії. Часткова похідна функції f за змінною x записується так: f_х або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної.Приклад: нехай ми маємо функцію і нам потрібно знайти частинну похідну по y. Тоді змінну x ми приймаємо за константу і знаходимо похідну. Похідна -.

Градієнтом функції 2 змінних називається вектор(grad f), який складається із часткових похідних. grad f=(df/dx;df/dy). Градієнт завжди показує напрям найбільш швидкого зростання функції(в заданій точці). Отже, градієнт завжди перпендикулярний лінії рівня.

3. Повний диференціал функції кількох змінних. Диференціали вищих порядків.

Повним диференціалом dz диференційованої в точці M функції називається лінійна відносно Δx та Δy частина повного приросту цієї функції в точці M, тобто dz=AΔx+BΔy. Диференціалами незалежних змінних x та y назвемо прирости цих змінних dx= Δx, dy= Δy. Тоді це саме можна записати так:

Диференціал вищого порядку. Нехай z=f(x,y) функція незалежних змінних x,y. Повний диференціал цієї функції dz=AΔx+BΔy, називають ще диференціалом першого порядку. Диференціал другого порядку визначають за формулою: d²z=d(dz). Це записують так:

Застосовуючи метод матиматичної індукції, можна дістати формулу для диференціала n-го порядку:

4. Похідні складених і неявна заданих функцій.

Нехай z=f(x,y) – функія двох змінних x та y, кожна з яких, в свою черг, є функцією незалежної змінної t: x=x(t); y=y(t), тоді функція f(x(t);y(t)) є складеною функцією змінної t. Теорема: Якщо функції x=x(t) та y=y(t) диіеренційовані в точці t, а функція z=f(x,y) диференційована в точці M(x,y), то складена функція z=f(x(t),y(t)) також диференційована в точці t. Похідну цієї фуекції знаходять за формулою:

Нехай задано рівняння F(x,y)=0, де F(x,y) – функція двох змінних. Коли кожному значенню x з деякої множини D відповідає єдине значення y, яке разом з x задовольняє рівняння F(x,y)=0, то кажуть, що це рівняння задає на множині D неявну функцію y=φ(x). Таким чином, для неявної функції y=φ(x), x є D, заданої рівнянням F(x,y)=0, має місце тотожність F(x, φ(x))=0, xєD. Для знаходження похідної неявно заданої функції користуються формулою: