Лабораторная работа №5
Дискретизация сигнала по времени. Теорема Котельникова.
Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Пример временной диаграммы непрерывного сигнала приведен на рис. 2, а. Сигналы, временные диаграммы которых изображены на рис. 1 , не являются непрерывными, поскольку их мгновенные значения в некоторые моменты времени изменяются скачками. Многие реальные сигналы являются непрерывными. К таковым можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи, музыки, многих изображений.
Рисунок 1 - График реализации телеграфного сигнала.
а)
б)
Рисунок 2 - Дискретизация квантование непрерывного сигнала
а – непрерывный сигнал; б – дискретный по времени (импульсный) сигнал
Сигналы с дискретным временем.
Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени. Смысл этих преобразований проиллюстрируем с помощью временных диаграмм, приведенных на рис. 2. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала u(t) в моменты времени ∆t, 2∆t, 3∆t…; ∆t -называют интервалом дискретизации по времени. Измеряемые значения u(∆t), u(2∆t), u(3∆t) отмечены на рис. 2, а точками. По этим значениям можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации ∆t, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала u(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов изображена на рис. 2, б и часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. Такой сигнал будет обозначать символом uд(t). Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен ∆t, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала u(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал u(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путем дискретизации по времени, также могут принимать любые значения. На рис.2,б значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой; для точного указания значения амплитуд импульсов может потребоваться неограниченное число десятичных знаков после запятой, т:е: значения амплитуд импульсов заполняют непрерывно некоторый интервал. Поэтому амплитуды импульсов сигнала ид(t) иногда называют непрерывными величинами.
Теорема Котельникова
Поскольку дискретные сигналы широко используют в настоящее время при передаче сообщений, а многие реальные сигналы являются непрерывными, то важно знать, можно ли непрерывные сигналы представлять с помощью дискретных, можно ли указать условия, при которых такое представление оказывается точным. Ответы на эти вопросы дает доказанная советским ученым В. А. Котельниковым теорема, являющаяся одним из фундаментальных результатов теоретической радиотехники. Эта теорема формулируется следующим образом: если непрерывный сигнал и(t) имеет ограниченный спектр и наивысшая частота в спектре меньше, чем fв герц, то сигнал и(t) полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/ (2fв) секунд.
Смысл теоремы Котельникова поясним с помощью временных диаграмм, приведенных на рис. 2,а. Пусть это будет часть временной диаграммы сигнала и(t) с ограниченным спектром и с верхней граничной частотой fв. Если интервал дискретизации ∆t < 1/2fв, то в теореме утверждается, что по значениям и(∆t), u(2∆t), u(3∆t),…, отмеченным на рис.2.8,а точками, можно определить точное значение сигнала и(t) для любого заданного момента времени t, находящегося между моментами отсчета. В соответствии с этой теоремой сигнал с ограниченным спектром и верхней частотой ωв < ωд/2 можно представить рядом
где и(n∆t), n = …-1, 0, +1,… - отсчеты мгновенных значений сигнала и(t), ωд = 2πfд – частота дискретизации по времени.
Ряд имеет бесконечное число слагаемых, так что для вычисления значения сигнала и(t) в момент времени t необходимо знать значения всех отсчетов и(n∆t), n = …-1, 0, +1, …, как до, так и после указанного момента t. Точное равенство достигается, только когда учитываются все слагаемые. Если ограничиться конечным числом слагаемых в правой части, то их сумма даст лишь приближенное значение сигнала и(t).
Представление сигнала и(t) рядом (2) иллюстрируется с помощью рисунка 3, на котором изображены временные диаграммы сигнала и(t) и трех слагаемых ряда (2).
Рисунок 3 - Представление сигнала с ограниченным спектром рядом Котельникова
Таким образом, теорема Котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем. Реальные непрерывные сигналы, подлежащие передачи, как правило, имеют спектры хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты, но все же неограниченные. Такие сигналы могут быть восстановлены по своим дискретным отсчетам лишь приближенно. Однако выбирая шаг дискретизации ∆t достаточно малым, можно обеспечить пренебрежимо малое значение ошибки восстановления непрерывного сигнала по его переданным отсчетам в дискретные моменты времени. Например, при передачи телефонного сигнала, спектр которого неограничен, обычно принимают, что условная верхняя граничная частота fв = 3,4 кГц. В этом случае получаем, что частота дискретизации должна удовлетворять неравенству fд ≥ 6,8 кГц, т.е. в одну секунду должно передаваться 6,8 тысяч отсчетов. Качество передачи речи при этом оказывается вполне удовлетворительным. Увеличение частоты дискретизации сверх указанного значения допустимо и приводит к незначительному повышению точности восстановления телефонного сигнала. Если же принять fд < 6,8 кГц, то точность восстановления телефонного сигнала заметно падает.
Задание:
1) Задать параметры источников сигнала (N – номер по журналу):
AM , FM : несущая частота - fн = 1000·N
частота модуляции - fм = 100·N
2) Определить верхние частоты сигналов fв
(спектры сигналов в отчёт)
3) Задать частоту дискретизации: а) fд =1,8 fв ; б) fд =2,3 fв
длительность импульса - 20% от периода.
4) Настроить фильтры на полосу пропускания (для каждого из источников): 0 .. fв . (АЧХ фильтров в отчёт)
5) Показания осциллографов в отчёт.