Пример расчета

Требуется построить эпюру давления воды на боковую стенку открытого резервуара, образованную двумя прямоугольниками длиной l = 1 м, а горизонтальные основания, расположенные перпендикулярно, имеют ширину В = 2 м (рисунок 2.3).

Порядок расчета.

1. Для построения эпюры прежде всего намечаются точки, в которых необходимо вычислить давление.

2. Рассматриваемая поверхность в данном примере представляет собой два прямоугольника, у которых одно основание общее, поэтому достаточно определить давление только в точках 1, 2 и 3.

3. В нашем случае резервуар открытый, следовательно, на свободную поверхность воды действует давление атмосферы, т. е. учитывая, что в расчете будет использоваться избыточное давление р₁ = р_{атм (изб)} = 0.

4. В точках 2 и 3 давление вычисляется по формуле (2.4), соответственно

5. Выбираются масштабы для ординат давления, а так же геометрический для схемы рассматриваемой фигуры, и строится эпюра. На рисунке 2.3 эпюра показана в виде сечения вертикальной плоскостью.

Рисунок 2.3 — Эпюра гидростатического давления

2.3 Практическое занятие «Сила давления на плоскую поверхность» Основные сведения

Исходные данные:

а) геометрические размеры, характеризующие форму и высотное положение рассматриваемой фигуры;

б) удельный вес либо плотность жидкости, оказывающей воздействие на рассматриваемую фигуру и давление в какой-нибудь точке данной жидкости (оно будет одинаково для горизонтальной плоскости, проходящей через эту точку).

Аналитический метод

1. Сила гидростатического давления, действующего на плоские поверхности, определяется по формуле:

, (2.10)

где S — площадь рассматриваемой фигуры;

p_с — гидростатическое давление, действующее в центре тяжести данной плоской фигуры (рисунок 2.4, точка С).

2. Давление p_с находится с помощью основного уравнения гидростатики (2.9):

, (2.11)

где h_c — глубина погружения центра тяжести рассматриваемой плоской фигуры от горизонтальной плоскости, на которой p₀ определено граничными условиями. Часто является известным давление на свободной поверхности жидкости, например, в случае, представленном на рисунке 2.4 давление p₀ = p_м и находится по показанию манометра.

При подстановке в формулу (2.10) численного значения давления p_с необходимо выбрать вид шкалы давлений (абсолютное или избыточное), которое будет характеризовать его величину. В большинстве практических задач условие равновесия рассматриваемой фигуры определяется разностью гидростатического давления, действующего внутри резервуара, и давления окружающей среды (обычно атмосферного), действующего на данную фигуру снаружи резервуара. Поэтому в таких случаях использование в расчетах избыточного давления позволит значительно сократить расчеты.

3. Когда по условиям задачи требуется определить момент силы гидростатического давления, расчеты упростятся, если вычислять не силу гидростатического давления не по формуле (2.10), а ее составляющие:

F_п — силу, которая возникает в результате давления на граничную поверхность жидкости в резервуаре или слоев жидкости, расположенных над верхней точкой рассматриваемой фигуры (точка 1 на рисунке 2.4). Поскольку эта сила создается давлением, которое по закону Паскаля равномерно распределяется на рассматриваемой фигуре, то будем эту силу называть силой Паскаля;

F_ж — силу, создаваемую весом слоя жидкости, расположенного в пределах рассматриваемой фигуры.

, (2.12)

, (2.13)

где p₁ — давление в верхней точке рассматриваемой фигуры;

h_1с — глубина погружения центра тяжести рассматриваемой фигуры от горизонтальной плоскости, проходящей через верхнюю точку фигуры.

Давление в точке 1, согласно уравнения (2.11), примет вид

(2.14)

Обе составляющие действуют по нормали к поверхности данной фигуры, но приложены в разных точках.

Сила F_п приложена в центре тяжести рассматриваемой фигуры (точка С), а сила F_ж — в точке Д, которая смещена вниз вдоль фигуры от точки С на величину е, называемую эксцентриситетом силы:

, (2.15)

где I_с — осевой момент инерции рассматриваемой фигуры относительно горизонтальной оси, которая лежит в плоскости и проходит через ее центр тяжести;

у_с — расстояние вдоль фигуры между горизонтальной плоскостью, проходящей через верхнюю точку фигуры и ее центром тяжести.

Графический метод

1. Для определения силы гидростатического давления, действующего на плоские фигуры, графическим методом предварительно необходимо построить эпюру давления, действующего на рассматриваемую фигуру.

Так как давление с увеличением глубины растет по линейному закону, то для построения эпюры достаточно с помощью основного уравнения гидростатики определить давления в самой верхней и нижней точках данной фигуры (точки 1 и 2 на рисунке 2.4).

Основное уравнение гидростатики для определения давления в точке 1 примет вид (2.14), а для вычисления давления в точке 2:

, (2.16)

где h₂ — глубина погружения самой нижней точки фигуры от горизонтальной поверхности, на которой давление равно p_м.

Ординаты давлений p₁ и p₂ в масштабе, выбранном по рекомендации ГОСТа, откладываются в соответствующих точках по нормали к поверхности со стороны нагрузки и соединяются прямой линией.

2. Сила гидростатического давления, действующего на плоские фигуры, определяется как объем эпюры давления.

Точка приложения силы гидростатического давления находится на пересечении рассматриваемой фигуры с перпендикуляром, опущенным на нее из центра тяжести эпюры давления.

В случаях, когда эпюра гидростатического давления представляет собой сложную фигуру, то для удобства расчетов ее целесообразно разбить на ряд простых. При этом каждая простая фигура будет соответствовать одной из составляющих силы гидростатического давления.

Например, если считать, что показанная на рисунке 2.4 наклонная поверхность, на которую действует искомая сила, является прямоугольником, то эпюра давления будет представлять собой призму с трапецеидальными основаниями.

Поскольку центр тяжести трапеции находится более сложно, чем треугольника, то в данном случае при определении момента силы давления эпюру целесообразно разбить на параллелепипед, объем которого определяет силу Паскаля F_п с центром тяжести С₁, и треугольную призму, объем которой соответствует силе весового давления слоя жидкости F_ж с центром тяжести С₂.

Пример вычисления силы гидростатического давления, действующего на плоские фигуры.

1. Требуется определить момент, создаваемый силой гидростатического давления, действующего на наклонную прямоугольную крышку, относительно оси, проходящей по ее нижнему основанию (рисунок 2.5).

Дано: ширина крышки (в направлении, перпендикулярном чертежу) А = 0,6 м; высота крышки (расстояние 1–2) В = 1,2 м; площадь крышки S = 0,72м²; h_с = 0,52 м; h₂ = 1,04 м; жидкость — вода (удельный вес 9810 Н/м³).

Рисунок 2.4 — Расчетная схема для определения силы гидростатического давления

Рисунок 2.5 — К расчету силы давления на плоскую поверхность

Порядок расчета: намечается способ решения, выписываются основные формулы и поясняются обозначения, на расчетной схеме указываются все величины, используемые при расчете.

Аналитический метод

1. В данном примере внешнее давление, действующее через жидкость на крышку, является атмосферным. С противоположной стороны на крышку действует также атмосферное давление. Поэтому для расчетов удобно числовые величины, характеризующие давление, принимать по шкале избыточного давления, т. е. p_{атм(изб)} = 0.

Таким образом, в данном случае из сил, действующих на крышку, будет не скомпенсирована только сила весового давления жидкости, которая находится по формуле (2.13):

2. Для определения момента силы находится тючка ее приложения «Д», для чего вычисляется по формуле (2.15) эксцентриситет:

3. Соответственно плечо силы давления

4. Момент силы давления определяется по формуле

Графический метод

1. Вычисляются с помощью основного уравнения гидростатики давления в самой верхней и нижней точках крышки (в данном примере точки 1 и 2).

Как указывалось выше, p₁ = 0. Давление в точке 2:

Выбираются масштабы для давления и геометрический (рисунок 2.5). Соответственно строится эпюра давления. Она в данном примере представляет собой треугольную призму (на рисунке 2.5 видно только одно основание призмы), т. е. достаточно простую фигуру, не требующую дополнительных преобразований.

2. Определяется сила давления, как объем эпюры, в данном случав треугольной призмы:

где S_э — площадь треугольного основания призмы.

3. Находится точка приложения силы давления «Д», для чего через центр тяжести эпюры С_э проводится перпендикуляр до пересечения с крышкой. Поскольку в данном примере среднее сечение призмы, параллельное основанию, представляет собой треугольник, то расстояние от точки 2 до «Д», будет равно В/3, т. е. треть плеча силы давления:

Этот же результат может быть получен путем непосредственного измерения указанной величины на чертеже.

4. Определяется момент силы давления:

Как и следовало ожидать, результат расчета получается таким же, как при использовании аналитического метода.