Danilyuk_20TV_20i_20MS

11

Відповідь: 0,25.

Задача 1.3.3. Підкидається гральний кубик. Яка ймовірність того, що число, яке випаде, буде кратне трьом?

Розв’язання. Число наслідків досліду n 6, оскілький гральний кубик має 6 граней, пронумерованих цифрами від 1 до 6. Подія А – “число очок кратне трьом” відбудеться при двох наслідках: при випаданні або 3, або 6, тобто m 2. Тоді

P(A) 2 1. 6 3

Відповідь: 1 . 3

Розглянемо більш складні задачі, для розв’язання яких використовується формула (1.3.1).

Задача 1.3.4. В коробці знаходиться 6 червоних, 4синіх і 2 чорних кульки. Навмання виймають 3 кульки. Знайти ймовірності: а) кульки різного кольору; б) кульки одного кольору; в) 2 кульки червоного кольору; г) хоча б одна кулька червоного кольору.

Розв’язання. Всі пункти даної задачі розв’язуються з допомогою формули (3.1). Число способів виймання 3 кульок із 12 (всього в коробці 6 4 2 12 кульок) обчислимо по формулі

n C123 12 11 10 20 11 220. 1 2 3

а) Знайдемо ймовірність того, що кульки різного кольору. Щоб вибрані кульки були різних кольорів, то одна має бути червоною – вона може бути

вибрана С61 способами, одна синього - вона може бути вибрана С41 способами,

одна чорного – вона може бути вибрана C21 способами. Тоді по основному принципу комбінаторики кульки різного кольору можна вибрати

m1 C61 C41 C21 6 4 2 48

способами. Якщо A1 - подія “кульки різного кольору”, то

б) Якщо вибрані кульки одного кольору, то це можуть бути або червоні, або сині (три чорні кульки вибрати просто неможливо). Три червоні кульки можна

вибрати C63 способами, три сині – C43 способами. Кількість сприятливих наслідків події А2 – “кульки одного кольору” дорівнює

і тоді

12

в) Дві червоні кульки можна вибрати C62 способами, до цих кульок повинна бути добавлена 1 не червона кулька. Одну кульку не червоного кольору можна вибрати C61 способами. Тоді кількість сприятливих наслідків події А3 – “дві кульки червоного кольору” дорівнює

одна, або дві, або всі три кульки мають червоний колір. Протилежною буде

подія A4 – “ні одна кулька не має червоного кольору”. Наслідків сприятливих подій A4, буде C63, оскільки всі три кульки треба вибрати серед синіх і червоних, а їх в сумі 6. Таким чином,

Тоді

Р(А4) 1 Р(А4) 1 0,091 0,909.

Відповідь: а) 0,218; б) 0,109; в) 0,409; г) 0,909.

Задачі для самостійного розв’язання

Задача 1.3.5. Із партії, в якій 31 деталь без дефектів і 6 з дефектами, беруть навмання 3 деталі. Чому дорівнює ймовірність наступних подій: а) всі три деталі без дефектів; б) по крайній мірі одна деталь без дефектів?

Відповідь: а) 0,579; б) 0,9973.

Задача 1.3.6. В коробці знаходиться 5 однакових виробів, причому 3 з них пофарбовані. Знайти ймовірність того, що серед двох вибраних виробів виявиться. а)один пофарбований виріб; б) два пофарбовані вироби; в) хоча б один пофарбований вибір.

Відповідь: а) 0,6; б) 0,3; в) 0,9.

Задача 1.3.7. Монета підкидається два рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з’явиться “герб”.

Відповідь: 0,75.

13

Задача 1.3.8. Із п’яти букв розрізаної азбуки складено слово “книга”. Дитина, яка не вміє читати, розсипала ці букви, а потім зібрала в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що у неї знову вийде слово “книга”.

Відповідь: 1 . 120

Задача 1.3.9. Навмання взятий телефонний номер складається із 5 цифр. Як завелика ймовірність того, що в ньому всі цифри кратні трьом?

Відповідь: 0,00243.

ймовірність того, що утворений з двох отриманих чисел дріб скорочується.

Відповідь: 5 .

14

навмання взятих відрізків із даних п’яти, можна побудувати трикутник.

Відповідь: 0,3.

1.4. СТАТИСТИЧНЕ ВИВЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ

Нехай проведена серія із n дослідів (випробувань) в кожному з яких могла появитися або не появитися деяка подія A.

Частотою події A в даній серії випробувань називається відношення числа випробувань, в яких подія появилася, до числа всіх випробувань.

Позначивши частоту події A через P* A , маємо по означенню.

P* A m, n

де m - число випробувань, в яких появилась подія A, а n - загальне число випробувань.

Для частоти очевидні властивості:

Частоту події можна визначити тільки після проведення дослідів, і в різних серіях дослідів при одних і тих же умовах частота події не залишається сталою. Тому поняття частоти є поганою характеристикою події. Однак по мірі збільшення числа випробувань, частота стабілізується, тобто приймає значення, що мало відрізняються від деякого цілком визначеного числа. Це число називається ймовірністю події.

14

Ймовірністю випадкової події називається стале число, навколо якого групуються частоти цієї події по мірі збільшення числа випробувань.

Статистичний спосіб визначення ймовірності має ту перевагу, що він опирається на реальний експеримент. Однак він має той суттєвий недостаток, що для надійного визначення ймовірності необхідно провести велике число дослідів які дуже часто зв’язані з матеріальними затратами.

Те, що кожна масова випадкова подія має свою ймовірність, є дослідним фактором і підтверджує існування статистичних закономірностей в природі.

1.5. ТЕОРЕМА ДОДАВАННЯ І МНОЖЕННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Нехай Ai B випадкові події, тоді ймовірність появи хоча б однієї із подій дорівнює

P A B P A P B P AB

Дане твердження легко доводиться з допомогою геометричної інтерпретації. Дійсно, площа множини A B дорівнює сумі площ множин Ai B мінус площа

A B:

A B

Назвемо подію A незалежною по відношенню до події B, якщо ймовірність події A не залежить від того, відбулася подія B чи ні. Незалежність подій між собою звичайно видна із тексту задачі.

Якщо події Ai B незалежні між собою, то ймовірність їх сумісної появи

Рівність (5.1) називають теоремою додавання ймовірностей, а рівність (5.2)- теоремою множення ймовірностей для незалежних подій.

15

Нехай події A1,A2,...,An незалежні в сукупності, причому

P(A1) p1, P(A2) p2,...,P(An ) pn, P(A1) 1 p1 q1,...,P(An) 1 pn qn

Ймовірність наступання події A, яка полягає в появі хоча б однієї із подій A1,A2,...,An дорівнює P 1-q2q2 qn . Зокрема, якщо всі події мають однакову ймовірність, що дорівнює р, то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій

P(A) 1 qn .

Задача 1.5.1. Три стрільці стріляють по цілі; ймовірність попадання в ціль першим стрільцем 0,7, другим –0,8, третім –0,9. Знайти ймовірність: а) ціль

P(A) 0,7 p1; P(A) 1 P(A) 0,3 q1 P(B) 0,8 p2; P(B) 1 P(B) 0,2 q2

P(C) 0,9 p3; P(C) 1 P(C) 0,1 q3

а) Знайдемо ймовірність того, що в ціль попав один стрілець. Це відбудеться в тому випадку, якщо 1-й стрілець попав, одночасно 2-й і 3-й промахнулись, або 1-й і 3-й промахнулись, а 2-й попав, або 1-й і 2-й промахнулись, а 3-й попав. Подію “одне попадання” можна записати

D1 ABC ABC ABC.

Згідно формул (4.1) і (4.2) будемо тепер мати

P(D1) P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)

P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)

0,7 0,2 0,1 0,3 0,8 0,1 0,3 0,2 0,9 0,092.

б) Аналогично пункту а) можна записати:

D2 ABC ABC ABC,

P(D2 ) 0,7 0,8 0,1 0,7 0,2 0,9 0,3 0,8 0,9 0,398.

в) Обчислимо ймовірність трьох попадань. Подія “три попадання в ціль” може бути записана D3 ABC і тому

P(D3) P(ABC) 0,7 0,8 0,9 0,504.

г)Обчислимо ймовірність трьох промахів:

P(D0) P(ABC) 0,3 0,2 0,1 0,006.

16

Зробимо перевірку обчислень. Оскільки в ціль може бути або три, або два, або одне, або нуль попадань, то подія D0 D1 D2 D3 є достовірною. Отже, ймовірність P(D0 D1 D2 D3) повинна дорівнювати1. Маємо

P(D0 D1 D2 D3 ) P(D0 ) P(D1 ) P(D2 ) P(D3 )

0,092 0,398 0,504 0,006 1.

д) Ймовірність події “хоча б один успіх” обчислимо через ймовірність події “ні одного успіху”. Тому маємо

P 1 P(ABC) 1 q1q2q3 1 0,006 0,994

Відповідь: а) 0,092; б) 0,398; в) 0,504; г) 0,006; д) 0,994.

Задача 1.5.2. Товар знаходиться в 1-му магазині з ймовірністю0,6, в 2-му – з ймовірністю0,7, в 3-му з ймовірністю0,8, в 4-му - з ймовірністю0,9. Знайти ймовірності: а) товар знаходиться тільки в двох магазинах; б) товар знаходиться хоча б в одному магазині; в) товар знаходиться не менше ніж в трьох

P(A1) p1 0,6;P(A2) p2 0,7;P(A3) p3 0,8;P(A4) p4 0,9;

P(A1) q1 0,4;P(A2) q2 0,3;P(A3) q3 0,2;P(A4) q4 0,1;

а)Нехай B– подія “товар є тільки в двох магазинах”. Тоді

B A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 ,

б) Подія “товар є хоча б в одному магазині” є подією, протилежною події “товару немає ні в одному магазині”. Тому

P 1 P(A1 A2 A3 A4 ) 1 q1q2q3q4 1 0,4 0,3 0,2 0,1 0,9976.

P(B) p1 p2q3q4 p1q2 p3q4 p1q2q3 p4 q1 p2 p3q4 q1 p2q3p4 q1q2 p3 p4

0,6 0,7 0,2 0,1 0,6 0,3 0,8 0,1 0,6 0,3 0,2 0,9 0,4 0,7 0,8 0,1

0,4 0,7 0,2 0,9 0,4 0,3 0,8 0,9 0,2144

в) Подія С – “товар є не менше ніж в трьох магазинах” означає, що товар є або в трьох магазинах, або р чотирьох магазинах. Тому

P(C) P(A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 )

p1 p2 p3q4 p1 p2q3 p4 p1q2 p3 p4 q1 p2 p3 p4 p1 p2 p3 p4

0,6 0,7 0,8 0,1 0,6 0,7 0,2 0,9 0,6 0,3 0,8 0,9

0,4 0,7 0,8 0,9 0,6 0,7 0,8 0,9 0,7428.

Відповідь: a) 0,2144;б) 0,9976;в)0,7428.

18

Відповідь: 2 i 1 3 3

1.6. УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ І ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ

Важливим поняттям теорії ймовірності є поняття умовної ймовірності. Ймовірність наступання події А при умові, що подія В уже відбулась,

називається умовною і позначається символомPB (A)(іноді застосовується позначенняP(A/B).

Рівність (1.6.2) носить назву теореми множення для довільних подій. Із (1.5.2) і (1.6.2) випливає, що коли події A i Bнезалежні, то P(A) PB (A), тобто якщо події A i Bнезалежні, то ймовірність наступання А не зміниться від того, відбулась подія В.

Задача 1.6.1. В урні 5 білих і 4 чорних кульки. Із неї підряд виймають 2 кульки. Знайти ймовірність того, що спочатку виймуть білу, а потім чорну кульку.

Розв’язання. Позначимо В – подія “в перший раз вийняли білу кульку”, А –

подія “в другий раз вийняли чорну кульку”. Тоді Р(В) 5, оскільки в урні

9

спочатку було 9 кульок, із яких 5 білих, РВ(А) 4 0,5 ,оскільки якщо подія В

8

відбулась, то в урні залишилось 8 кульок, із яких 4 чорні. По теоремі множення

Р(АВ) Р(В)РВ (А) 5 1 5 . 9 2 18

Відповідь: 5 .

18

Має місце рівність (формула повної ймовірності): ймовірність події А, яка може наступити лише при появі однієї із несумісних подій (гіпотез) H1,H2,..., Hn , що утворюють повну групу подій дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної із гіпотез на відповідну умовну ймовірність події А

19

P(A) P(H1)PH1 (A) P(H2)PH2 (A) P(Hn )PHn (A)

n

P(Hi )PHi (A),P(H1) P(H2) P(Hn) 1

i 1

РИС.

Цей факт можно записати так:

P A P AH1 AH2 AHn

Тоді з теорем додавання для несумісних подій і теорем множення впливає

P A P AH1 P AH2 P AHn P H1 PH1 A

n

P H2 PH2 A P Hn PHn A P Hi PHi A

i 1

що і потрібно було довести.

Задача 1.6.2. В ящику для деталей знаходиться 20 деталей, з яких 10 випущені 1-м заводом, 6 – 2-м заводом, 4 – 3-м заводом. Заводи виготовляють відповідно 90, 85 і 80 процентів стандартної продукції. Знайти ймовірність, що взята з ящика навмання деталь виявиться стандартною.

Розв’язання. Можливі три гіпотези: H1 - деталь випущена 1-м заводом, H2

так як із 20 деталей 4 випущені 3-м заводом. Нехай А – подія “взята деталь є стандартна”. PH1 (A) 0,9 ,так як відбудеться подія Н1, то деталь стандартна з

ймовірністю 0,9 із-за того, що на 1-му заводі випускається 90% стандартної продукції; аналогічно PH2 (A) 0,85 і PH3 (A) 0,8. По формулі повної

ймовірності маємо

P(A) P(H1)PH1 (A) P(H2)PH2 (A) P(H3)PH3

0,5 0,9 0,3 0,85 0,2 0,8 0,865

Відповідь: 0,865.

20

Розглянемо більш складну задачу

Задача 1.6.3. В коробці 10 тенісних м’ячів, з яких 6 нових. Для гри навмання беруть м’яч і після гри кидають знову в коробку. Знайти ймовірність, що для другої гри буде вийнято новий м’яч.

Розв’язання. Позначимо Н1 – гіпотеза “для першої гри вийняли новий м’яч”,

,оскільки в коробці із 10 м’ячів 6 нових. P(H2) 4 0,4 ,оскільки в коробці із

10

10 м’ячів 4 старих. Нехай А – подія «для другої гри взято новий м’яч». Якщо відбулась подія H1, то після гри м’яч із нових став старим і кількість нових і

Відповідь: 0,54.

Задача 1.6.4. Студент прийшов на іспит, знаючи 12 білетів із 20. В якому випадку ймовірність взяти невідомий білет менша, коли він бере білет першим або другим?

Розв’язання.

а) Назвемо білет “щасливим”, якщо студент його знає. Припустимо, що студент тягне білет першим. Тоді ймовірність витягнути “щасливий” білет

дорівнює 12 0,6; 20

тобто ймовірність удачі не залежить від номера черги.