Блок3

Лекция 5Б

1.Преобразование проекций и его значение в начертательной геометрии. Четыре ос-

новных задачи преобразования проекций.

2.Плоскопараллельное перемещение – один из способов преобразования проекций.

Решение четырех основных задач способом ППП.

3.Вращение вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций – частный случай ППП.

4.Вычисление точки пересечения прямых и прямой с плоскостью.

ПОЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ ПРИ КОТОРЫХ РАССТОЯ НИЯ И УГЛЫ НЕ ИСКАЖАЮТСЯ НА ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ.

Если прямые и плоскости занимают частное положение относительно плоскости проекций (параллельны или перпендикулярны плоскости проекций), то многие длины,

площади, расстояния и углы не искажаются. Следовательно, если необходимо опре-

делить подобные метрические характеристики, то можно привести преобразованием проекций геометрические формы к нужному частному положению, при котором нужную метрическую характеристику определяют простым измерением на той плоскости про-

екций, где эта характеристика не искажается. Приведем положения некоторых геомет-

рических форм с не искажающимися метрическими характеристиками (рис. 1).

Для приведения геометрических форм из общего в необходимое частное поло-

жение используют способы преобразования проекций. К способам преобразования

проекций относятся:

∙Плоско параллельное перемещение (сокращенно ППП).

∙Вращение вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций.

∙Замена плоскостей проекций (сокращенно ЗПП).

∙Вращение вокруг линий уровня.

∙Способ совмещения.

∙Способ вспомогательного проецирования.

Способы ППП и ЗПП являются основными способами преобразования проекций, а ос-

тавшиеся четыре – дополнительными. ППП и ЗПП являются равноценными по возмож-

ностям, которые они предоставляют при решении всевозможных задач начертатель-

ной геометрии. Дополнительные способы применяются более специализировано, так как каждый из них наиболее эффективен при решении своего специального класса за-

дач. Эта специализация будет выделена при изложении каждого из способов преобра-

зования проекций.

ЧЕТЫРЕ ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ.

Для успешного решения задач начертательной геометрии с применением спосо-

бов преобразования проекций возникла необходимость выделить некоторые задачи преобразования геометрических форм и выделить для них личные обозначения (дать им имена):

1. Задача №1. Линия натуральная (ЛН):

Приведение прямой из общего положения в положение прямой уровня. 2. Задача №2. Линия точка (ЛТ):

Приведение прямой в проецирующее положение. 3. Задача №3. Плоскость линия (ПЛ):

Приведение плоскости из общего положения в проецирующее. 4. Задача №4. Плоскость натуральная (ПН):

Приведение плоскости в положение плоскости уровня.

При ГППП высоты точек перемещаемого объекта не изменяются, следователь-

но, каждая точка его фронтальной проекции движется по линиям параллельным оси проекций. Не меняя высоты точек мы не сможем изменить вида горизонтальной проек-

ции, только положение горизонтальной проекции может меняться перемещаясь согла-

совано с движением самого объекта в пространстве. Следовательно, чтобы произвести горизонтальное плоскопараллельное перемещение необходимо:

1.Не изменяя формы горизонтальной проекции, переместить ее в нужное место

(допустим, как параллельный перенос этой проекции, так и ее поворот).

2.Достроить фронтальную проекцию каждой точки объекта, не изменяя высот.

Пример ГППП. Прямую АВ переместить горизонтально плоскопараллельно так, чтобы она оказалась фронтальной прямой уровня.

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ПРИ ФППП

При фронтальном плоскопараллельном перемещении неизменными остаются глубины точек. При ФППП фронтальная проекция объекта не меняясь по величине, копирует движение его, а горизонтальная проекция каждой его точки перемещается по линиям параллельным оси проекций Х12.

Пример ФППП: Плоскость α(АВС) из общего положения перевести в горизонтально проецирующее положение.

Плоскость является горизонтально проецирующей, если она содержит горизонтально проецирующую прямую. Фронтальную прямую можно одним ФППП перевести во фронтально проецирующее положение. Следовательно, для решения задачи необходимо в плоскости провести фронталь, которую, совместно с плоскостью, переводим во фронтально проецирующее положение (рис. 3). В нашем примере фронталь BD плоскости АВС фронтальным плоско параллельным перемещением спроецирована в точку В11 ≡ D11, тогда плоскость треугольника проецируется в линию A11B11C11.

Задача ПЛ

ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ - ЧА-

СТНЫЙ СЛУЧАЙ ПЛОСКО ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Если необходимо определить натуральные величины отрезков выходящих из одной точки, то удобно воспользоваться способом вращения вокруг оси перпендику-

лярной плоскости проекций. Этот способ теоретически ничем не отличается от ППП,

траектория движения при этом будет окружность.

Задача. Определить натуральные величины отрезков SA, SB, SC.

Вычисление точки пересечения двух прямых и точки пересечения прямой с плоскостью – важнейшие позиционные задачи курса начертательной геометрии. Они,

как составные части, входят в решение многих задач. Пересечение прямых в курсе рассматриваются или в плоскостях проекций, или в плоскостях уровня. Следовательно прямые не могут скрещиваться (точки, определяющие прямые, задаются двумя коор-

Вычисление определителей четвертого порядка

следует проводить спрособом преобразования или разложения по координатам точек

D и Е.

Лекция № 6Б

1.Метрический оператор трех точек. Длина отрезка прямой. Угол между прямыми.

2.Основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

3.Точка выхода из плоскости и ее геометрическая интерпретация. Точка выхода из плоскости на расстояние d.

4.Площадь треугольника, расположенного в плоскости общего положения.

5.Определение вершины пирамиды по заданному основанию и высоте.

Проекции Н соответствует множество точек С перпендикулярное прямой АВ, следовательно, для каждой точки этого множества метрический оператор не меняется. Пусть Н ≡ В, тогда

ΣCBA = AB2

B частном случае, когда С ≡ В, получим квадрат длины отрезка. УТВЕРЖДЕНИЕ. Длина отрезка АВ определяется соотношением:

AB = lAB = ΣABB .

Непосредственно из рисунка (рис. 1), следует: