МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Кафедра высшей и прикладной математики и информатики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторной работы на тему

«Метод наименьших квадратов» по модулю

«Методы решения систем линейных алгебраических уравнений и методы обработки данных в табличном процессоре MS Excel»

по курсу «Информатика»

(для студентов строительных и природоохранных специальностей дневной формы обучения)

УТВЕРЖДЕНО на заседании кафедры

высшей и прикладной математики и информатики Протокол № 2 от 06 . 02 .2007 г.

Макеевка 2007 г.

УДК 517.9: 681.3 (075)

Методические указания к выполнению лабораторной работы на тему«Метод наименьших квадратов» по модулю «Методы решения систем линейных алгеб-

раических уравнений и методы обработки данных в табличном процессореMS Excel» по курсу «Информатика» (для студентов строительных и природоохран-

ных специальностей дневной формы обучения) / Сост. Грицук Ю.В., Митра-

ков В.А., Позднякович А.Е., Акулов В.Ф. – Макеевка, ДонНАСА, 2007. – 16 с.

Методические указания содержат задания к выполнению лабораторной ра-

боты на тему «Метод наименьших квадратов» в рамках модуля «Методы реше-

ния систем линейных алгебраических уравнений и методы обработки данных в табличном процессоре MS Excel» курса «Информатика». Приведены краткие теоретические сведения, индивидуальные задания, примеры выполнения работ и список дополнительной литературы, которая позволяет самостоятельно рас-

смотреть ключевые моменты данного раздела курса «Информатика».

Методические указания ориентированы на формирование предметной мо-

дели специалиста, а именно направлены на развитие операционной деятельно-

сти студента.

Для студентов строительных и природоохранных специальностей дневной формы обучения Донбасской национальной академии строительства и архитектуры.

3

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Определение вида функциональных зависимостей, получаемых в физическом эксперименте, имеет очень важное значение. Так, в результате экспери-

ментов часто получают совокупность точек(x1 , y1 )...(xN , yN ), абсциссы {xk }

которых различны. Одно из назначений методов обработки экспериментальных данных – определение формулы вида y = f ( x ) , которая связывает эти пере-

менные, точнее – выбор класса допустимых формул, коэффициенты в которых должны быть определены.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Пусть зависимость между переменными x и y представлена таблицей данных, полученных в эксперименте:

денцию изменения переменной y с изменением переменной x и сгладить слу-

чайные погрешности измерений, которые неизбежны в эксперименте.

Задача нахождения эмпирической формулы (формулы, служащей для аналитического представления опытных данных) состоит из двух основных этапов.

На первом этапе необходимо установить вид зависимостиy = f ( x ), т.е.

иной. Для этого экспериментальные точки наносятся на координатную плоскость и по их расположению выдвигают гипотезу о виде эмпирической зависимости.

На втором этапе, когда общий вид эмпирической функции выбран, необходимо определить числовые значения ее параметровa0 , a1 , a2 ,..., an . Для оп-

ределения значений параметров применяетсяметод наименьших квадратов

(МНК).

В методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция строится на основании того, что сумма квадратов невязок по всем точкам должна быть

4

Рис. 1. Набор исходных точек, линейная аппроксимирующая функция и невязки для метода наименьших квадратов

Если в качестве f (x ) взять полином (полиноминальная аппроксимация)

в виде:

то получаем функцию F = F (a0 ,a1 ,...,am ), зависящую от искомых пара-

метров a0 ,a1 , ...,am .

Заметим, что степень полинома m должна быть меньше числа точекN . (В случае m = N - 1 получим полином Лагранжа).

ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

В этом случае m = 1 , тогда аппроксимирующая функция будет иметь вид:

минимальным. Т.е. параметры a0 , a1 должны быть такими, чтобы сумма квад-

ратов отклонений наблюдаемых значений yk от рассчитанных по функции(3),

была минимальной. Сумма квадратов отклонений от линейной функции(3) имеет вид:

5

k =1

Величина F (ao ,a1 ) есть функция двух переменных. Необходимым усло-

вием экстремума такой функции является равенство нулю всех ее частных про-

Они имеют вид:

Таким образом, после преобразования имеем нормальную систему двух линейных уравнений относительно неизвестных параметров регрессии a0 , a1 .

Найденные параметры a0 , a1 подставляют в уравнение (3) и таким образом получают эмпирическое линейное уравнение наилучшим образом описывающее экспериментальные данные.

КВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

При m = 2 получаем функцию:

6

После преобразования имеем нормальную систему трех уравнений отно-

сительно неизвестных параметров регрессии a0 , a1 , a2 .

кретный вид функции (9). Изменение количества параметров не приведет к изменению сути самого подхода, а выразится в изменении количества уравнений

называют отклонениями измеренных значений от вычисленных по формулам

(3) или (9).

Сумма квадратов отклонений

k=1

всоответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида при-

ближающей функции должна быть наименьшей.

Из двух разных приближений одной и той же табличной функции лучшим считается то, для которого (13) имеет наименьшее значение.

Аналогично можно записать систему для полинома любой степени m £ N :

При этом, если m = N , то точечная средняя квадратичная аппроксимация алгебраическим многочленом совпадает с лагранжевой интерполяцией. Другой

7

путь повышения качества аппроксимации связан с выбором вместо алгебраических полиномов других ортогональных полиномов, а также функций вида:

и других, которые легко линеаризуются путем логарифмирования или замены переменных (табл. 1, рис. 2).

8

Рис. 2. Возможные кривые, которые используются в методе линеаризации данных

Пример реализации метода наименьших квадратов в средеMicrosoft Excel представлен на рис. 3 и 4.

9