- •Ответственный за выпуск: к.ф-м.н., доц. В.А. Моисеенко.
- •КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
- •1. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ
- •1.1. Приближенное решение нелинейных уравнений
- •1.2. Отделение корней
- •1.3. Метод половинного деления
- •2. МЕТОД НЬЮТОНА
- •2.1. Методика решения задачи
- •2.2. Ошибка деления на нуль.
- •2.3. Скорость сходимости.
- •2.4. Модификации метода Ньютона.
- •2.5. Упрощенный метод Ньютона
- •2.6. Метод Ньютона-Бройдена
- •2.7. Метод секущих
- •КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
- •ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
- •Литература
Замечания:
1.Метод секущих является более экономичным по сравнению с методом Нью-
тона по количеству функций, подлежащих расчету: на каждой итерации в методе секущих необходимо рассчитать только значение f (x(k ) ), так как вели-
чина f (x(k−1) ) уже подсчитана на предыдущей итерации.
2.Для всех описанных модификаций скорость сходимости p по сравнению с методом касательных снижается: p < 2 . Однако для некоторых из них (метод секущих) значение p > 1 и может достигать p = 1,5 .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.Что такое корень уравнения?
2.Условия применения метода половинного деления?
3.Как осуществляется приближенное нахождение корней нелинейного уравнения?
4.Что такое отделение корней? Каким образом оно осуществляется?
5.Цель метода половинного деления и каким образом она достигается?
6.Как определить количество шагов необходимых для нахождения корня с требуемой точностью?
7.Что означает определить корень с заданной точностью?
8.Условия применения метода Ньютона?
9.Нахождение расчетной формулы метода Ньютона графическим способом?
10.Нахождение расчетной формулы метода Ньютона аналитическим способом?
11.Достаточные условия сходимости метода Ньютона?
12.Что такое порядок корня и как его определить?
13.Основная идея упрощенного метода Ньютона?
14.Модификации метода Ньютона. Их отличие и сходство с методом Ньютона.
19
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1.Отделить корни нелинейных уравнений графически.
2.Аналитически проверить наличие корней на выделенных отрезках и их единственность.
3.Уточнить значение корня методом половинного деления.
4.Уточнить значение корня методом Ньютона.
|
|
|
|
|
Решить уравнения |
|
|
Варианты |
Методом половинного деления |
Методом Ньютона |
|||||
1 |
2x + 5x −3 = 0 |
3x 4 + 4x3 −12x 2 −5 = 0 |
|||||
2 |
arctgx − |
1 |
= 0 |
2x3 −9x 2 − 60x +1 = 0 |
|||
3 |
|||||||
|
|
3x |
|
|
|||
3 |
5x + 3x = 0 |
|
x 4 − x −1 = 0 |
||||
4 |
2ex = 5x + 2 |
|
2x 4 − x 2 −10 = 0 |
||||
5 |
3x−1 − 2 − x = 0 |
3x 4 +8x3 + 6x 2 −10 = 0 |
|||||
6 |
2arctgx − |
1 |
= 0 |
|
x 4 −18x 2 + 6 = 0 |
||
3 |
|
||||||
|
|
|
2x |
|
|
||
7 |
e−2x − 2x +1 = 0 |
x 4 + 4x3 − 8x 2 −17 = 0 |
|||||
8 |
5x − 6x −3 = 0 |
x 4 − x3 − 2x 2 + 3x −3 = 0 |
|||||
9 |
arctg( x −1) + 2x = 0 |
3x 4 |
+ 4x3 −12x 2 +1 = 0 |
||||
10 |
2arctgx − x + 3 = 0 |
3x 4 |
−8x3 −18x 2 + 2 = 0 |
||||
11 |
3x + 2x − 2 = 0 |
2x 4 −8x3 +8x 2 −1 = 0 |
|||||
12 |
2arctgx − 3x + 2 = 0 |
2x 4 +8x3 +8x 2 −1 = 0 |
|||||
13 |
3x + 2 x − 5 = 0 |
x 4 − 4x3 −8x 2 +1 = 0 |
|||||
14 |
2ex +3x +1 = 0 |
3x 4 + 4x3 −12x 2 −5 = 0 |
|||||
15 |
3x−1 − 4 − x = 0 |
2x3 −9x 2 − 60x +1 = 0 |
|||||
16 |
arctgx − |
1 |
= 0 |
|
x 4 − x −1 = 0 |
||
3 |
|
||||||
|
|
3x |
|
|
|||
17 |
ex + x +1 = 0 |
|
2x 4 − x 2 −10 = 0 |
||||
18 |
3x − 2x + 5 = 0 |
3x 4 +8x3 + 6x 2 −10 = 0 |
|||||
19 |
arctg( x −1) + 3x − 2 = 0 |
|
x 4 −18x 2 + 6 = 0 |
||||
20 |
2arctgx − x + 3 = 0 |
x 4 |
+ 4x3 − 8x 2 −17 = 0 |
||||
21 |
2x −3x − 2 = 0 |
x 4 − x3 − 2x 2 + 3x −3 = 0 |
|||||
22 |
arctgx + 2x −1 = 0 |
3x 4 |
+ 4x3 −12x 2 +1 = 0 |
||||
23 |
3x + 2x −3 = 0 |
3x 4 −8x3 −18x 2 + 2 = 0 |
|||||
24 |
2ex − 2x −3 = 0 |
3x 4 −8x3 −18x 2 −5 = 0 |
|||||
25 |
3x + 2 + x = 0 |
2x3 −9x 2 − 60x +1 = 0 |
|||||
26 |
arctg( x −1) + 2x − 3 = 0 |
|
x 4 − x −1 = 0 |
||||
27 |
e−2x − 2x +1 = 0 |
|
2x 4 − x 2 −10 = 0 |
||||
28 |
3x − 2x −5 = 0 |
3x 4 +8x3 + 6x 2 −10 = 0 |
|||||
29 |
arctg( x −1) + 2x = 0 |
|
x 4 −18x 2 + 6 = 0 |
||||
30 |
3x +5x − 2 = 0 |
3x 4 + 4x3 −12x 2 +1 = 0 |
|||||
31 |
0,5x +1 = (x − 2)2 |
x3 −3x 2 + 9x − 8 = 0 |
|||||
20
32 |
x2 − 2 + 0,5x = 0 |
x3 − 0,1x2 + 0,4x −1,5 = 0 |
33 |
0,5x −1 = (x + 2)2 |
x3 − 3x 2 +9x + 2 = 0 |
34 |
(x − 2)2 2x =1 |
x3 + 0,2x2 + 0,5x −1,2 = 0 |
35 |
[(x − 2)2 −1]2x =1 |
x3 − 3x 2 +12x −9 = 0 |
36 |
x2 −3 + 0,5x = 0 |
x3 − 0,2x2 + 0,3x −1,2 = 0 |
37 |
(x −3)2 log0,5 (x − 2) = −1 |
x3 − 3x 2 + 6x − 2 = 0 |
38 |
x log3 ( x +1) =1 |
x3 − 0,2x2 + 0,4x − 2,5 = 0 |
39 |
x 2 2x =1 |
x3 +3x 2 + 6x −1 = 0 |
40 |
2x2 − 0,5x −3 = 0 |
x3 + 0,1x2 + 0,4x −1,2 = 0 |
41 |
[log2 ( x + 2)](x −1) =1 |
x3 + 0,8x2 + 0,5x + 0,8 = 0 |
42 |
2 sin(x + π ) = 0,5x 2 −1 |
x3 −3x 2 +12x −12 = 0 |
|
3 |
|
43 |
0,5x −3 = (x + 2)2 |
x3 − 0,2x2 + 0,3x +1,2 = 0 |
44 |
2x2 − 0,5x − 2 = 0 |
x3 − 0,2x2 + 0,5x −1,4 = 0 |
45 |
x lg( x +1) =1 |
x3 −3x 2 + 6x −5 = 0 |
46 |
x 2 cos 2x = −1 |
x3 − 0,1x2 + 0,4x +1,2 = 0 |
47 |
(x − 2)2 2x =1 |
x3 − 0,2x2 + 0,2x −1 = 0 |
48 |
0,5x +1 = (x − 2)2 |
x3 +3x 2 +12x +3 = 0 |
49 |
x2 − 4 + 0,5x = 0 |
x3 − 0,1x2 + 0,4x + 2 = 0 |
50 |
0,5x − 3 = −(x +1)2 |
x3 − 0,2x2 + 0,4x −1,4 = 0 |
21
Литература
1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: БИ-
НОМ, 2000. – 630 с.
2.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.:
Наука, 1970. – 664 с.
3.Інформатика: Комп’ютерна техніка. Комп’ютерні технології. Посіб./ За ред. О.І. Пушкаря – К.: Видавничий центр „Академія”, 2001. – 696 с.
4.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.
5.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 376 с.
6.Ларсен Р.У. Инженерные расчеты в Excel: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. – 544 с.
7.Мэтьюз Дж.Г., Финк К.Д. Численные методы: Использование MATLAB. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 720 с.
8.Уокенбах Дж. Подробное руководство по созданию формул в Excel 2002: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. – 624 с.
9.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. –
М., Физматгиз, 1963. – 656 с.
10.Конспект лекций по курсу «Вычислительная техника и программирование». Часть 1. Вычислительная техника. (для студентов строительных специальностей дневной формы обучения)/ Сост.: Грицук Ю.В.– Макеевка, ДонГА-
СА, 2004. – 115 с.
11.Конспект лекций по курсу «Вычислительная техника и программирование». Часть 2. Численные методы. (для студентов строительных специальностей дневной формы обучения)/ Сост. Грицук Ю.В.– Макеевка, ДонГАСА, 2004. – 89 с.
22
Министерство образования и науки Украины Донбасская национальная академия строительства и архитектуры
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ на тему
«Решение нелинейных уравнений» по курсу «Вычислительная техника и программирование»
(для студентов строительных специальностей дневной формы обучения)
Составители: ГРИЦУК Юрий Валериевич
МИТРАКОВ Владимир Алексеевич АКУЛОВ Виктор Федорович САМОЙЛЕНКО Михаил Евгеньевич