- •1.1. Комплексне креслення точки і прямої 6
- •1.1. Комплексне креслення точки і прямої
- •Умова паралельності прямих:
- •Умова перетину прямих:
- •Умова схрещування двох прямих:
- •Умова паралельності прямої і площини:
- •Аналіз задачі:
- •Положення геометричних образів при яких відстані
- •Розв’язання
- •3.2.1. Спосіб трикутників
- •Розгортка складається із чотирьох рівнобедрених
- •3.2.2. Спосіб розкатки
- •3.2.3. Спосіб нормального перерізу
- •Вправи для самостійного дослідження
- •3.3.4. Конічні перерізи.
- •3.4.3. Перетин прямої з похилим циліндром
- •Тема 3.5. Взаємний перетин поверхонь. Загальний алгоритм побудови лінії перетину поверхонь. Способи побудови лінії перетину поверхонь
- •Загальний алгоритм побудови лінії перетину поверхонь
- •3.5.2.А. Співвісні поверхні обертання і їх лінії перетину
- •Спосіб концентричних сфер
- •Геометричний алгоритм розв’язання задачі
- •Спосіб ексцентричних сфер
- •Геометричний алгоритм рішення задачі
- •У точковому численні прийнято позначати параметр t через q, а його доповнення до одиниці – через р. Рівняння прямої, записане у вигляді
- •4.7.2. Основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.
- •4.7.3. Точка виходу з площини та її геометрична інтерпретація.
- •Викладки цього розділу є розрахунковою основою одного із епюрів з курсу нарисної геометрії.
- •Розділ 5. Теоретичні основи аксонометрії
- •Ортогональні проекції точок на будь-яку площину проекцій, які супроводжуються числами, що визначають відстань точок від їхніх проекцій, називаються проекціями з числовими позначками.
У точковому численні прийнято позначати параметр t через q, а його доповнення до одиниці – через р. Рівняння прямої, записане у вигляді
M = Ap + Bq,
де p + q = 1,
називається рівнянням прямої АВ у природній параметризації.
Існує безліч і інших параметризацій прямої, кожна з яких пристосована до розв’язання певного виду задач, але природна і стандартна параметризації складають основу точкових рівнянь. Щоб задати точку С на прямій АВ досить задати її параметри (наприклад рс і qc, причому pc + qc =1 або ac і bc, де ac + bc = lAB). Щоб задати відрізок або промінь на прямій досить вказати область зміни параметрів. Задамо, наприклад, значення параметра t для різних геометричних форм:
Значення параметра t Геометрична форма
Параметр t дорівнює нулю (t = 0) Точка А
Параметр t дорівнює одиниці (t = 1) Точка B
Параметр t приймає значення
від 0 до 1 (0 ≤ t ≤1) Відрізок AB
Параметр t більше або дорівнює 0 (t 0) Промінь із А спрямований до B
Параметр t менше або дорівнює 0 (t 0) Промінь із А в напрямку зворотному B
Параметр t більше або дорівнює 1 (t 1) Промінь із B у напрямку зворотному А
Параметр t менше або дорівнює 1 (t 1) Промінь із B у напрямку А
Параметр t належить числовій
осі (– ∞ < t < ∞) Пряма АB
4.4. ПОБУДОВА ЧЕТВЕРТОЇ ВЕРШИНИ ПАРАЛЕЛОГРАМА ПО ТРЬОМ ЗАДАНИМ. РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ.
Н
Рис.
3
Рис. 3
ABCD. Потрібно визначити току D (четверту вершину паралелограма).
Точка К (рис. 3) є центроїдом діагоналей паралелограма:
2
Рис. 4
Твердження:Вершина паралелограма дорівнює сумі двох суміжних з нею вершин без протилежної вершини.
Задача. Визначити рівняння прямої, яка паралельна АВ і проходить через точку С.
Розв’язання: Поточна точка М шуканої прямої утворить з поточною точкою N прямої АВ паралелограм ANMC (рис. 4). Рівняння прямій АВ в природній параметризації має вигляд:
N = Ap + Bq,
тоді шукана вершина М паралелограма ANMC визначить шукане рівняння:
М = Ap + Bq + C – A = A (p - 1) + Bq – C,
де p + q = 1.
Дві незбіжні точки утворюють симплекс прямої; три точки, які не належать прямій утворять симплекс площини; чотири точки, які не належать площині утворять симплекс простору. Симплекс складає геометричну частину визначника лінійної геометричної форми (прямої, площини або простору). Щоб заповнити симплекс безперервною безліччю точок і цим цілком визначити пряму, площину або простір, необхідно задати алгоритм утворення поточної точки М.
П
Рис. 5
P = (A - C)p + C; Q = (B - C)q + C.
M = (A – C)p + C + (B - C)q + C – C =
= Ap + Bq + C(1 – p - q).
Отже, рівняння площини визначається симплексом АВС за допомогою двох незалежних параметрів p і q.
4.5. ТОЧКОВЕ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ І ПРОСТОРУ В СТАНДАРТНІЙ ТА ПРИРОДНІЙ ПАРАМЕТРИЗАЦІЯХ.
У
Рис. 6
визначимо орієнтованими площами:
S = SABC; SA = SMBC; SB = SAMC; SC = SABM.
З точкового числення відомо, що рівняння площини через площини орієнтованих трикутників розташованих проти вершин симплексного трикутника виражається співвідношенням:
де sA +sB + sC = s.
Якщо в отриманому співвідношенні, площі замінити пропорційними величинамиa, b, c, одержимо рівняння площини в стандартній параметризації:
Введемо позначення:
Тоді рівняння площини в природній параметризації матиме вигляд:
Геометрична форма в площині визначається областю зміни параметрів відповідно до таблиці:
Таблиця
Значення параметрів p, q, r Геометрична форма
p ≥ 0, q ≥ 0, r ≥ 0, p + q + r =1 Трикутний відсік ABC площини
p = 1, q = r = 0 Точка А
q = 1, p = r = 0 Точка B
r = 1, p = q = 0 Точка C
p = 0, q + r = 1 Пряма BC
q = 0, p + r = 1 Пряма CA
r = 0, p + q = 1 Пряма AB
p + q + r = 1 Площина α(А, B, C)
Параметрами визначається положення точки М щодо симплексу відповідно до схеми:
Схема
Геометрично природні параметри являють собою відношення орієнтованих відрізків (рис. 6):
ОБЧИСЛЕННЯ ТОЧКИ ПЕРЕТИНУ ПРЯМОЇ ІЗ ПЛОЩИНОЮ
Обчислення точки перетину двох прямих і точки перетину прямої із площиною – найважливіші позиційні задачі курсу нарисної геометрії. Вони, як складові частини, входять у розв’язання багатьох задач. Перетин прямих у курсі розглядається або в площинах проекцій, або в площинах рівня. Отже прямі не можуть бути мимобіжними (точки, що визначають прямі, задаються двома координатами з трьох). Розглянемо цей випадок перетину прямих АВ і СD.
Через площі орієнтованих трикутників АСD
BCD визначаємо відношення АК/ВК.
Введемо позначення:
Тоді, із точкового числення, маємо:
(А - K)/(B - K) = ACD/BCD
Аналогічно, визначимо точку K перетину прямої DE і площини АВС (рис. 8):
DK/EK = DABC/EABC, звідки маємо
Визначники четвертого порядку складені з координат точок мають вигляд:
Обчислення визначників четвертого порядку
варто проводити способом перетворення або розкладання по координатах точок D і Е.
МЕТРИКА ТОЧКОВОГО ЧИСЛЕННЯ.
Для розв’язання метричних задач в точковому численні необхідно ввести метрику в точковій формі і на її основі визначити довжину відрізка, кут між прямими, площу трикутника, перпендикулярність прямих і таке інше.
4.7.1. МЕТРИЧНИЙ ОПЕРАТОР ТРЬОХ ТОЧОК.
ДОВЖИНА ВІДРІЗКА ПРЯМОЇ. КУТ МІЖ ПРЯМИМИ.
У точковому численні особливе місце займає відношення відрізків прямої. Не менш важливу роль відіграє добуток цих відрізків. Спосіб координатного визначення добутку відрізків задає метрику простору, що характеризує властивості вимірів у цьому просторі.
Визначення: Метричним оператором точок АВС при точці А називається число, рівне добуткові довжин направлених відрізків АН і АВ, де Н - ортогональна проекція точки С на пряму АВ:
Для Евклідового простору метричний оператор через Декартові координати заданих точок виражається співвідношенням:
= (x - x)(x - x) + (y - y)(y - y) + +(z – z)(z - z).
З визначення метричного оператора випливає, що він не міняється при перестановці нижніх точок-індексів у позначенні:
Проекції Н відповідає безліч точок C на перпендикулярі до прямої АВ, отже, для кожної точки цієї безлічі метричний оператор не міняється. Нехай Н B, тоді
B частці випадку, коли C B, одержимо квадрат довжини відрізка.
ТВЕРДЖЕННЯ. Довжина відрізка АВ визначається співвідношенням:
Безпосередньо з рисунку (рис. 9), випливає: