Обратная матрица.

Матрица называетсяобратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

.

Только квадратная матрица имеет обратную, причем тогда и только тогда, когда определитель исходной матрицы отличен от нуля.

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрицавырожденная и обратная матрицане существует. Если, то обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n) и составляем из них присоединенную матрицу (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n).

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле:

.

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения:.

Пример. Найти матрицу, обратную к данной:

.

1. Определитель матрицы , т.е. матрица– невырожденная и обратная матрицасуществует.

2. Находим матрицу , транспонированную к:

.

3. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу:

; ;;

; ;;

; ;.

.

4. Вычисляем обратную матрицу :

.

Системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений спеременными имеет вид:

, 1)

где – произвольные числа, называемые, соответственнокоэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде. Обозначим:

; ;,

где –матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, –матрица-столбец переменных; –матрица-столбец свободных членов. Тогда система линейных уравнений может быть записана в виде:

.

Пусть число уравнений системы равно числу переменных. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называетсяопределителем системы.

Метод обратной матрицы.

Предположим, что квадратная матрица системы невырожденная, т.е. ее определитель. В этом случае существует обратная матрица.

Умножая слева обе части матричного равенства на матрицу, получим. Так как, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

.

Метод Крамера.

Теорема Крамера. Пусть – определитель матрицы системы, а– определитель матрицы, получаемой из матрицызаменой-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

.

Формулы для называются формулами Крамера.

Пример. Решить систему уравнений

,

а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера.

а) Обозначим ;;.

Найдем определитель . Так как, то матрица невырожденная и существует обратная матрица .

Получим . Теперь по формуле

.

То есть решение системы .

б) Найдем определитель системы . Так как, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц , полученных из матрицы заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов на столбец свободных членов:

; ;.

Теперь по формулам Крамера находим

; ;.

То есть решение системы .