
- •Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы.
- •Виды матриц.
- •Операции над матрицами.
- •Определители квадратных матриц
- •Обратная матрица.
- •Системы линейных уравнений.
- •Метод обратной матрицы.
- •Метод Крамера.
- •Метод Гаусса.
- •Производная.
- •Правила дифференцирования.
- •Производные сложной и обратной функции.
- •Интегрирование.
- •Свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменной.
- •Метод интегрирования по частям.
- •Задания для контрольных работ (6 заданий по 25 вариантов)
- •Задание №1
- •Задание №2
Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы.
Определение.
Матрицей размера
называется таблица чисел, состоящая из
строк и
столбцов. Числа, составляющие матрицу,
называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются
прописными буквами латинского алфавита
(например А,
В, С), а
элементы матрицы – строчными буквами
с двойной индексацией:
,
где
– номер строки,
– номер столбца.
Например, матрица
,
или в сокращенной
записи
,
где
;
.
Виды матриц.
Матрица, состоящая
из одной строки, называется матрицей
(вектором)–строкой,
а из одного столбца – матрицей
(вектором)–столбцом:
– матрица–строка;
–матрица–столбец.
Матрица называется
квадратной
-го
порядка, если число ее строк равно числу
столбцов и равно
.
Например,
– квадратная матрица третьего порядка.
Элементы матрицы
,
у которых номер строки равен номеру
столбца
,
называютсядиагональными
и образуют главную
диагональ
матрицы.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,
–диагональная
матрица третьего порядка.
Если у диагональной
матрицы
-го
порядка все диагональные элементы равны
единице, то матрица называетсяединичной
матрицей
-го
порядка и она обозначается буквой
.
Например,
– единичная матрица третьего порядка.
Операции над матрицами.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы
на число
называется матрица
, элементы которой
для
;
.
Например, если
,
то
.
Сложение матриц. Суммой двух матриц
и
одинакового размера
называется матрица
, элементы которой
для
;
(то есть матрицы складываются поэлементно).
Например:
,
,
.
Умножение матриц. Умножение матрицы
на матрицу
определено, когдачисло столбцов матрицы
равно числу строк матрицы
. Тогда произведением матриц
называется матрица
, каждый элемент которой
равен сумме произведений элементов
-ой строки матрицы
на соответствующие элементы
-го столбца матрицы
:
Пример. Вычислить
произведение матриц
,где
;
.
Найдем размер
матрицы-произведения (если умножение
матриц возможно):
.
Вычислим элементы матрицы
.
Элемент
получается при умножении
-ой
строки матрицы
на
-ый
столбец матрицы
.
;
;
;
;
;
.
Получаем
.
Транспонирование матрицы – переход от матрицы
к матрице
, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица
называется транспонированной относительно матрицы
.
,
.
Из определения
следует, что если матрица имеет размер
,
то транспонированная матрица
имеет размер
.
Например:
;
.
Определители квадратных матриц
Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.
Определитель
матрицы
обозначается
или
.
Определителем
матрицы первого порядка
,
илиопределителем
первого порядка,
называется элемент
:
.
Например, пусть
,
тогда
.
Определителем
матрицы второго порядка
,
илиопределителем
второго порядка,
называется число, которое вычисляется
по формуле:
.
Произведения
и
называютсячленами
определителя
второго порядка. Например, пусть
,
тогда
.
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
.
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Рис. 1.
Это число представляет собой алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строка и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу, легко запомнить, пользуясь схемой (рис.1.), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.
Для вычисления определителей более высоких порядков потребуются некоторые дополнительные понятия.
Пусть дана квадратная
матрица
n-го
порядка.
Минором
элемента
матрицы n-го
порядка называется определитель матрицы
(n–1)-го
порядка, полученной из матрицы
вычеркиванием
-ой
строки и
-го
столбца.
Например, минором
элемента
матрицы
третьего порядка будет:
Алгебраическим
дополнением
элемента
матрицы n-го
порядка называется его минор, взятый
со знаком
:
,
т.е. алгебраическое дополнение совпадает
с минором, когда сумма номеров строки
и столбца (i+j)
– четное число, и отличается от минора
знаком, когда (i+j)
– нечетное число. Например,
;
.
Для вычисления определителей квадратных матриц выше третьего порядка пользуются теоремой Лапласа.
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(разложение по
элементам i-й
строки;
);
(разложение по
элементам j-го
столбца;
);
По свойствам определителей, определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. Это свойство определителей и теорема Лапласа позволяют существенно упростить вычисление определителей высоких порядков. При вычислении определителей нужно преобразовать исходную матрицу так, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка:
.
Преобразуем матрицу так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого умножим элементы 3-го столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Раскладывая полученный определитель по элементам третьей строки, найдем
.
Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, однако, можно продолжить упрощение матрицы. "Обнулим" в матрице третьего порядка элементы 2-ой строки (кроме одного). Для этого элементы третьего столбца матрицы, предварительно умножив на (-13) и на 4, сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:
.
Раскладывая по элементам второй строки и вынося общие множители, получаем:
.