Оулы 1-3

түрлеріне келтіріледі және гиперболаның фокальдық радиус-векторларының формулалары деп аталады.

5.3.2 Гипербола пішінін оның канондық теңдеуі бойынша зерттеу

Гиперболаның (5.22) канондық теңдеуін

болады.

Енді гиперболаның пішінін оның (5.22) және (5.25) теңдеулері бойынша зерттейік.

а) Егер x 0 болса, онда y bi, яғни гипербола Oy өсімен қиылыспайтынын көреміз;

б) егер y 0 болса, онда x a, яғни гипербола Ox өсімен екі A1( a,0) және A2(a,0) нүктеде қиылысады. Бұл нүктелер өзара симметриялы абсцисса бойында жатқан гиперболаның нүктелері;

в) (5.25) теңдеуі x a мәндерінде ғана орын алады, себебі x2 a2 0

болуы керек, осыдан x2 a2, ал x a;

76

19-сурет д) (5.22) теңдеуі ағымдағы координаталардың тек квадраттарынан ғана

тұратын болғандықтан, координат өстері гиперболаның симметрия өстері болады. Гиперболаның фокустары орналасқан симметрия өсі фокустық өсі деп аталады. Симметрия өстерінің қиылысу нүктесі – симметрия центрі – гиперболаның центрі деп аталады. (5.22) теңдеуімен берілген гипербола үшін фокустық өс Ox өсімен беттеседі, ал координат басы – O 0,0 нүктесі гиперболаның центрі болады. Гиперболаның фокустық өспен қиылысу

5.3.3 Гиперболаның асимптоталары

Қабырғаларының ұзындықтары 2a және 2b-ға тең координат өстеріне параллель болатын, диагональдарының қиылысу нүктесі координат басында жататын тіктөртбұрыштың диагональдары гиперболаның асимптоталары болатынын көрсетейік. Алдымен қарастырып отырған тіктөртбұрыштың

диагональдарының теңдеулері y b x түрінде жазылатынын білуіміз керек. a

Жоғарыда көрсетілген (5.25) теңдеуін қайта қарастырамыз:

77

y

абсциссалары бірдей болғандықтан, біз олардың тек ординаталарын салыстырамыз. Суреттен y1 y болатыны көреміз. Онда бұл нүктелердің ординаталарының айырмасы y1 y олардың арақашықтығын көрсетеді, яғни

MN y1 y.

Біздің ендігі мақсатымыз абсцисса мәні шексіз өскен сайын осы ара қашықтық мәнінің азая беріп, нөлге ұмтылатындығын көрсетеміз.

Қарастырып отырған N(x, y1) нүктесі түзуде болғандықтан, оның координаталары түзудің теңдеуін қанағаттандырады, яғни

b y1 a x

теңдеуі орындалады.

Ал M(x, y) нүктесі гиперболада жатқандықтан, оның координаталары (5.25) теңдеуін қанағаттандыратын болады, яғни

yb x2 a2 a

теңдеуі орындалады. Демек,

немесе

MN b (x x2 a2 ) a

болады.

Осы теңдеудегі иррационалдықтан құтылу үшін теңдеудің оң жағын жақша ішіндегі айырымның түйіндесіне көбейтеміз және бөлеміз. Сонда

немесе

MN

a b

x x2 a2

теңдеуін аламыз.

Осы формуладан x-тің мәні шексіздікке ұмтылса, бөлшектің шамасы нөлге ұмтылатындығын көреміз. Бұл дегеніміз, егер M нүктесі гипербола

бойымен қозғалып, шексіздікке ұмтылса, оның y b x түзуімен a

арақашықтығы азайып, нөлге ұмтылатындығын білдіреді. Гипербола координат жүйесінің басына қарағанда симметриялы болғандықтан, M

нүктесі үшінші ширекте орналасса да, өзінің қозғалысында y b x түзуіне a

жақындай беретінін дәлелдеуге болады. Oy өсіне қарағанда гиперболаның симметриялығын ескерсек, M нүктесі екінші немесе төртінші ширектерде

орналасып қозғалатын жағдайларында да y b x түзуіне жақындай a

беретінін дәл жоғарыдағыдай дәлелдеуге болады.

Сонымен тіктөртбұрыштың диагональдары болатын бұл екі түзу гиперболаның асимптоталары деп аталады және олардың теңдеулері жоғарыда көрсеткеніміздей

түрлерінде жазылады.

(5.22) теңдеуімен берілген гиперболаға түйіндес гипербола деп

теңдеуімен анықталатын гиперболаны айтады. Бұл гиперболаның асимптоталары да алғашқы гиперболаның асимптоталарымен беттесіп, (5.26) теңдеулермен анықталады. Ал (5.27) теңдеуімен берілген гипербола Oy өсімен B1(0, b) және B2(0, b) нүктелерінде қиылысады да, олар осы

y

B2

21-сурет гиперболаның төбелері деп аталады (21-сурет). 21-суретте (5.22) теңдеуімен

анықталған гипербола бөлітелген сызықтармен көрсетілген де, ал оған

79

түйіндес (5.27) теңдеуімен анықталған Oy өсімен қиылысқан гипербола кескінделген.

Егер a b болса, онда гипербола тең қабырғалы (тармақты) деп аталады (22-сурет). Бұл жағдайда оның канондық теңдеуі

түрінде жазылады да, асимптоталарының теңдеулері y x

болады.

y

22-сурет

5.3.5 Гиперболаның директрисалары

Гипербола центрінен, яғни координат жүйесінің басынан, қашықтығы a

aa

23-сурет

80

тармағында жатса, онда d x a , ал ол нүкте гиперболаның сол жақ

тармағында жатса, онда d a x болады.

Енді MF2 r2 екенін ескеріп, r2 қатынасын қарастырамыз: d

Осы екі жағдайда да r2 қатынасы бірдей және -ге тең, яғни d

қатынастың тұрақты және - ге тең болатынын дәл осылай көрсетуге болады. 4-анықтама. Гиперболаның фокустық өсіне перпендикуляр, оның

центрінен a қашықтықта жатқан екі түзу

x a

гиперболаның директрисалары деп аталады (23-сурет).

5.4Парабола

5.4.1Параболаның канондық теңдеуі

5-анықтама. Берілген фокус деп аталатын нүкте мен берілген директриса деп аталатын түзуден бірдей қашықтықта орналасқан жазықтықтың нүктелер жиыны парабола деп аталады.

y

NM

0

2

24-сурет

81

2) x-тің әрбір оң мәніне y-тің екі мәні сәйкес келеді. Демек парабола нүктелері Ox өсіне қарағанда симметриялы болып орналасады екен. Ал x- тің мәні өскен сайын y-тің абсолют мәні де өсіп отырады (25-сурет);

3)параболаның бір ғана симметриялық өсі болады. Оны парабола өсі деп атаймыз. Ол (5.31) теңдеуімен берілген парабола үшін Ox өсі болады; Параболаның симметрия өсімен қиылысу нүктесін оның төбесі деп атаймыз;

4)параболаның директрисасы x p теңдеуімен анықталады.

2

25-сурет 26-сурет

5.4.3 Параболаның канондық теңдеулерінің түрлері

Параболаның келесі түрдегі

(5.32)

канондық теңдеуін қарастырамыз (26-сурет). Бұл теңдеуде p 0 болғанда, айнымалы x шамасы (0, ) аралығында өзгереді, Ox өсі оның симметрия өсі, ал төбесі координат жүйесінің бас нүктесінде жататын болады.

табылады. Ал, Oy өсіне қарағанда симметриялы болатын төбелері координат жүйесінің бас нүктесінде жататын параболалар мына түрде жазылады (27сурет):

x2 2py, x2 2py (p 0).

83

Енді (5.32) канондық теңдеуіне қайта оралайық. Осы теңдеумен берілген параболаның фокусы мен кезкелген M(x, y) нүктесінің арақашықтығы

2

себебі анықтама бойынша r d, ал d p/2 x болады. Параболаның эксцентриситеті әр уақытта

r 1. d

5.5 №6 өздік жұмыс тапсырмалары

№1

Центрі O(x; y) нүктесінде орналасқан, радиусы R a тең шеңбер теңдеуін жазыңыз және сызбасын салыңыз. A(x1; y1), B(x2;y2) және C(x3; y3) нүктелері шеңберде жататынын немесе жатпайтынын тексеріңіз.

1.1.O(2;4); R 3; A(3;2), B( 1;2),C(2;1).

1.2.O( 2;1); R 4; A(2; 1), B(3;1),C( 3; 2).

1.3.O( 3; 2); R 5; A(3;0), B(1; 1),C( 8;1).

1.4.O( 4;1); R 3; A( 7;1), B( 3;4),C( 2;1).

1.5.O(2; 6); R 4; A(3;1), B(4; 4),C( 2; 6).

1.6.O( 1; 3); R 5; A(2;1), B(4;4),C( 2; 3).

1.7.O( 1;4); R 6; A(2;3), B( 5;2),C(1;2).

2

1.8.O( 2;2,5); R 7; A(5;2,5), B( 7;7),C(0;0).

1.9.O( 4; 5); R 5; A( 4;0), B(2;1),C(0;0).

1.10.O(4;2); R 3; A(1;2), B(0;0),C( 2; 3).

1.11.O(3; 1); R 1; A(0;0), B( 2; 2),C(4; 1).

1.12.O( 2; 7); R 5; A( 3; 2), B(2;4),C( 2;4).

1.13.O( 4; 1); R 6; A(2; 1), B(4;1),C( 6; 2).

1.14.O(2;8); R 3; A( 2;3), B(1;7),C(4;6).

1.15.O(4; 4); R 4; A(3; 6), B( 1;0),C(1; 2).

1.16.O(6;0); R 5; A(2;2), B(0;3),C( 3; 4).

1.17.O( 4;2); R 3; A( 6;4), B( 2;4),C( 6;6).

1.18.O(7;2); R 6; A(1;2), B(4;3),C(8; 1).

1.19.O(4; 3); R 7; A( 3; 2), B(3; 3),C(2;4).

1.20.O( 1; 3); R 5; A( 5;0), B( 2; 2),C(2;3).

1.21.O( 7;1); R 3; A( 2; 4), B( 8;3),C( 9;3).

84

1.22.O(4;5); R 4; A( 1;2), B(0;5),C(3;2).

1.23.O(8;1); R 4; A(2;5), B(7;3),C(5; 2).

1.24.O( 7; 2); R 5; A(0;2), B( 6; 1),C( 4;2).

1.25.O( 6; 5); R 4; A( 5; 1), B( 1; 3),C( 3; 2).

1.26.O( 2;4); R 7; A(4;1), B(5;2),C( 1;3).

1.27.O(4; 5); R 6; A(5;1), B(0;0),C(4;1).

1.28.O( 2; 7); R 5; A(4;2), B( 4; 3),C( 2; 1).

1.29.O( 2; 5); R 7; A( 7; 2), B( 5;3),C(1; 2).

1.30.O( 8;1); R 5; A(0;3), B( 4;0),C( 6;1).

№2

Келесі теңдеулермен берілген шеңберлерді салыңыз.