Оулы 1-5
.pdf6.25 lim |
|
3 |
1 2x |
1 |
6.26 lim |
|
xcosx sin x |
6.27 lim |
|
|
1 x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|||||||
x 1 |
|
2 x x |
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
x 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin |
|||||||||||
|
tgx sin x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2tgx |
|
|
|
tg3x |
|
|
|
|||||||||
6.28 lim |
|
|
6.29 lim |
|
|
|
cos2 x |
6.30 lim |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 0 |
4x sin x |
x |
|
4 1 cos4x |
x |
2 tg5x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
7.25 Анықталмаған интеграл. Тiкелей интегралдау |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
немесе dF(x) f (x)dx |
болса, |
онда F(x) функциясы |
|||||||||||||||||||
Егер F (x) f (x) |
f (x) функциясына алғашқы функция болады.
Егер f (x) функциясының алғашқы F(x) функциясы бар болса, онда оның алғашқы функциялары көп болады және олар мына өрнекпен анықталады F(x) C, мұндағы C-тұрақты шама.
Тұрақтының туындысы нөлге тең болатындықтан, төмендегі теңдеу орындалады:
F(x) C F (x) C F (x) 0 F (x) f (x). 49-анықтама. f (x) функциясының барлық алғашқы функцияларының
жиынтығы оның анықталмаған интегралы деп аталады және мына түрде белгiленеді:
|
f (x)dx F x C . |
||
|
Интегралдаудың негiзгi ережелерi: |
||
1) |
|
||
f (x)dx f (x); |
|||
|
|
||
2) |
f (x)dx df (x) f (x) C; |
||
3) |
d f (x)dx d F(x) C f (x)dx; |
||
4) |
f (x) (x) dx f (x)dx (x)dx; |
||
5) |
af (x)dx a f (x)dx мұндағы a тұрақты; |
||
6) |
егер f (x)dx F(x) C болса, онда |
||
|
f (ax b)dx |
1 |
F(ax b) C, |
|
|
||
|
|
a |
|
мұндағы a, b- тұрақты және a 0; |
|||
7) |
егер f (x)dx F(x) C және u (x) кез келген дифференциалданатын |
||
|
функция болса, онда |
f (u)du F(u) C.
Анықталмаған интегралдың анықтамасының негiзiнде және жоғарыда көрсетiлген интегралдау ережесiнiң негiзiнде интегралдардың негiзгi
кестесiн көрсетемiз:
1. dx x C ;
170
xn 1
2. xndx C мұндағы n 1; n 1
3. dx ln x C ; x
4. axdx |
ax |
C мұндағы a 0, |
a 1; |
|
lna |
||||
|
|
|
5.exdx ex C;
6.sin xdx cosx C ;
7.cosxdx sin x C;
8. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
arctgx C arcctgx C; |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
C |
1 |
ln |
|
|
x 1 |
|
|
C ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
x 1 |
|
x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
|
x2 |
1 |
C ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11. |
|
|
dx |
|
|
|
|
arcsin x C arccosx C; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
12. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
tgx C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
ctgx C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
14. |
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
sin x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C; |
|||||||||||||||||||||
cosx |
|
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.shxdx ch C;
17.chxdx sh C;
dx
18. ch2x thx C;
dx
19. sh2x cthx C;
Осы кестелiк интегралдардың көмегiмен берілген мысалдарды есептейміз:
1. 2x3 5x2 7x 3dx интегралын есептеңіз.
Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн 4) және 5) ережелердi қолданамыз:
2x3 5x2 7x 3dx 2 x3dx 5 x2dx 7 xdx 3 dx
171
|
x4 |
|
x3 |
|
x2 |
1 |
|
4 |
|
5 |
|
3 |
|
7 |
|
2 |
|
|
2 |
|
5 |
|
7 |
|
3x C |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
3x C. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
4 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2.5 dx интегралын есептеңіз.
x7
Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн, ең алдымен интеграл астындағы функцияны түрлендiрiп кестелiк интегралға келтiремiз:
|
5 |
dx 5x 7dx 5 x 7dx 5 |
x 6 |
C |
5 |
C. |
|
x7 |
6 |
6x6 |
|||||
|
|
|
|
Бұл интегралға қарап келесi қортынды интегралды алуға болады
|
a |
dx |
a |
|
C мұндағы k 1, |
a const. |
k |
(k 1)x |
k 1 |
||||
|
x |
|
|
|
3.3x x3 7dx интегралын есептеңіз.
x25
Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн, бiрiншi интеграл астындағы өрнектiң алымын бөлiмiне жеке – жеке бөлiп шығамыз:
|
|
3x5 x3 7 |
|
|
|
3x3 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
x3dx |
|
|
|
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
dx 3 |
|
|
xdx 7 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
4 |
|
1 |
x |
2 |
|
7 |
C. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
dx интегралын есептеңіз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн, бiрiншi интеграл астындағы өрнектi квадраттаймыз, сонан соң әрбiр қосылғышты жеке-жеке интегралдаймыз:
x 31x 2dx x 23xx 31x2 dx x 2x16 x 32 dx
|
1 |
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
xdx 2 x6dx x |
3dx |
|||||||
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x6 |
x3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
6 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
x |
|
x 3 |
x C. |
|||||||||
|
7 |
|
|
1 |
|
2 |
7 |
|
|
|
6 |
3 |
||||
5. |
|
sin2x |
dx интегралын есептеңіз. |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
cosx |
|
|||
|
Шешуi: Бұл интегралды табу үшiн, интеграл астындағы өрнектiң |
||||||
алымындағы sin2x 2sinxcosx болатынын ескерiп интегралдаймыз: |
|||||||
|
sin2x |
dx |
2sin xcosx |
dx 2 sin xdx 2cosx C. |
|||
cosx |
|
|
|||||
|
|
|
|
cosx |
|
||
|
|
|
1 2x2 |
|
|||
6. |
|
x2 1 x2 dx интегралын есептеңіз. |
|
172
Шешуi: Бұл интегралдың алымын мынадай 1 2x2 1 x2 x2 жiктеу арқылы интегралдаймыз:
|
1 2x2 |
1 x2 x2 |
|
|
|
1 x2 |
x2 |
||||
|
x2 1 x2 dx |
x2 1 x2 |
dx |
x2 1 x2 dx |
x2 1 x2 dx |
||||||
|
|
|
dx |
|
dx |
1 |
arctgx C. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 |
1 x2 |
x |
|
7.26 Анықталмаған интегралда айнымалыны алмастыру
Анықталмаған интегралда айнымалыны алмастыру төмендегідей екі түрдегі ауыстырудың көмегімен орындалады.
1) Егер x t үздiксiз дифференциалданатын функция болса, онда
f x dx интегралын |
жаңа айнымалы |
t арқылы мына |
формуламен |
|
өрнектеймiз: |
|
x t |
|
|
|
f x dx |
|
(7.31) |
|
|
|
f t t dt. |
||
2) Егер u g t , |
|
dx t dt |
|
|
мұндағы u жаңа айнымалы болса, онда |
|
|||
du g t dt. |
Сондықтан |
|
|
f g t g t dt интегралын жаңа айнымалы көмегiмен мына түрде |
||
жазамыз: |
|
|
|
(7.32) |
|
|
f g t g t dt f u du. |
1. xx 1dx интегралын есептеңіз.
Шешуi: Бұл интегралда түбiрден құтылу үшiн |
|
x 1 t2 айнымалыны |
||||||||||||||||||||||
алмастыруын енгiземiз, сонда |
x t2 1 |
бұдан dx 2tdt |
|
болатынын көремiз, |
||||||||||||||||||||
(7.31) формула негiзiнде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x 1 t2 |
|
|
t2 |
1t 2tdt 2 t2 |
1t2dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
dx |
x t2 |
1 |
|
|
||||||||||||||||
x 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx 2tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t4 t2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
2 |
t5 |
2 |
t3 C |
2 |
x 1 |
|
|
2 |
x 1 |
|
C |
|||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||
5 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. ex3 x2dx интегралын есептеңіз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Шешуi: Бұл интегралда x аргументiнiң ең |
|
үлкен дәрежесiн t |
||||||||||||||||||||||
айнымалысымен алмастырамыз, яғни x3 t, онда |
3x2dx dt бұдан |
|||||||||||||||||||||||
x2dx |
1 |
dt болады, сондықтан |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
173
|
|
|
|
|
x3 t |
|
t 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
x3 |
||||||||
e |
|
x |
|
dx |
3x |
|
dx dt |
e |
|
|
dt |
|
e |
|
C |
|
|
|
e |
|
C |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2dx |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
теңдігі орындалады. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. 5 x 19dx |
интегралын есептеңіз. |
|
5 x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Шешуi: Интегралды есептеу үшiн |
|
алмастыруын қолданамыз, |
||||||||||||||||||||||||||||
сонда dx dt болатындығын ескерсек, онда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 x t |
|
|
|
|
|
t |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 x 19dx |
|
|
|
|
|
|
t19dt |
|
|
C |
5 x |
|
C |
|||||||||||||||||
dx dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
теңдігін аламыз.
4. sin3 xcosxdx интегралын есептеңіз.
Шешуi: Интегралды есептеу үшiн cosxdx d sin x болатынын ескерiп, u sinx алмастыруын қолданамыз, онда du cosxdx, сондықтан
sin3 xcosxdx u3du |
u4 |
C |
sin4 x |
C |
|
|
|||
4 |
4 |
|
||
болады. |
|
|
|
Кейбiр есептерде айнымалыны ауыстырумен бiрге интеграл астындағы өрнектiң айнымалы көбейткiштерiн дифференциал таңбасының астына енгiзе
отырып, интегралдау қолданылады, ол |
үшiн |
f |
|
||
(x)dx df (x) және |
|||||
dx |
1 |
d(ax b) болатынын ескеру керек. |
Себебi |
аргументтiң тұрақты |
|
|
|||||
|
a |
|
|
|
көбейткiшi дифференциал таңбасының алдына шығарылады және тұрақтының дифференциалы нөлге тең, сондықтан интеграл астындағы өрнектiң тұрақтысына сәйкес кез келген тұрақтыны дифференциал таңбасының астына енгiзуге болады.
Мысалы, cosxdx sin x C , |
|
dx |
ln |
|
x |
|
C |
және xndx |
xn 1 |
|
C |
|
|
||||||||||
|
|
|
n 1 |
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
болатынын ескере отырып, төмендегі интегралдарды есептеймiз:
1. |
cos(x 6)dx cos(x 6)d(x 6) sin(x 6) C. |
||||
2. |
cos(4x 7)dx |
1 |
cos(4x 7)d(4x 7) |
1 |
sin(4x 7) C. |
|
|
||||
|
4 |
4 |
|
3. cos(5 2x)dx |
1 |
cos(5 2x)d(5 2x) |
1 |
sin(5 2x) C |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
4. |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
d(8x 3) |
|
1 |
ln |
|
8x 3 |
|
C. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
8x 3 |
|
8x 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. 3 (6x 5)2dx 6x 5 |
|
dx |
6x 5 |
|
d 6x 5 |
|||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
6 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
6x 5 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
6x 5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
|
|
|
|
|
dx |
|
9x 2 4dx |
1 |
|
9x 2 4d 9x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9x 2 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
9x 2 3 |
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
27 9x 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сонымен бiрге келесi формулаларды |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
f (x) |
|
f n 1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f |
|
|
|
|
(x)f (x)dx f |
|
|
(x)d |
|
|
C , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
d f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
d |
f x |
|
|
|
|||||||||||||
|
dx |
ln |
|
f (x) |
|
C және |
|
|
dx |
dx 2 |
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (x) |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
f x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
болатынын қолдана отырып, төмендегi интегралдарды есептеймiз:
1. |
|
cosxdx |
|
(d(sin x) cosxdx) sin 2 |
xd(sin x) |
sin 2 1 x |
C |
1 |
C. |
|||||||||||||||||||||||||
sin2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
sinx |
||||||||
2. |
|
|
ln5 x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
ln |
6 x |
C. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
d(ln x) |
|
ln |
|
xd(ln x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
arctg3x |
|
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
d(arctg3x) |
|
|
|
arctg3xd(arctg3x) |
|
|
||||||||||
|
|
1 9x2 |
|
|
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 arctg23x |
C |
|
arctg |
23x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
|
|
|
|
sin x |
|
dx sin xdx d cosx 2 |
|
|
C . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Жоғарыда келтiрiлген кестелiк интегралдар формуласын келесi қосымша формулалармен толықтырамыз:
f x
20. f x dx ln f x C .
21. |
f x |
|
dx 2 |
|
|
|
|
|
|
C. |
||||||||||||||
|
|
|
f x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22. |
|
dx |
|
|
1 |
arctg |
x |
|
C, мұндағы a 0. |
|||||||||||||||
x |
2 a2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|||||||||||||
23. |
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x a |
|
C, мұндағы a 0. |
|||||||||||
|
|
|
ln |
|
||||||||||||||||||||
x |
2 a2 |
|
x a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
24. |
|
dx |
|
|
|
arcsin |
x |
C, мұндағы a 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
C, мұндағы нақты сан және 0. |
||||||||||||||||
25. |
|
|
ln |
x |
|
x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175
26. |
dx |
|
ln |
tg |
x |
C. |
|
|
||||
sin x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
27. |
|
|
ln |
tg |
|
|
|
|
C. |
|||
cosx |
|
4 |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
28.tgxdx lncosx C.
29.ctgxdx lnsin x C.
Студент назарына: бұл берiлiп отырған 1 – 29 формулаларды жаттап алу керек, себебi жаттығу сабағында берiлетiн көптеген
интегралдар осы формулаларға келтiрiледi. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Берiлген формулаларға мысалдар келтiремiз: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
dx |
|
1 |
|
arctg |
x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
C |
1 |
|
ln |
|
|
x 5 |
|
|
|
C. |
|
||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
x 5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 25 |
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
dx |
arcsin |
|
x |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
7 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
ln |
x |
x2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
dx |
|
1 |
|
1 |
arctg |
3x |
C |
1 |
|
|
arctg |
3x |
C. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
9x2 16 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 3 |
4 |
|
|
12 |
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.27 Бөлiктеп интегралдау. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Бөлiктеп интегралдау әдiсi мына формулаға негiзделген: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
udv uv vdu, |
(7.33) |
мұндағы u(x), v(x) - үзiлiссiз дифференциалданатын функциялар. Берiлген (7.33) формуласы бөлiктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл формуланың қолданылу мақсаты оң жақтағы интегралдың есептелуi, сол жақтағы интегралға қарағанда жеңiлдеу болуы керек.
Сондықтан u- деп дифференциалдану кезiнде жеңiлденетiн функцияны аламыз, ал dv- деп интеграл астындағы өрнектiң, интегралы белгiлi немесе оңай алынатын бөлiгi алынады.
Мәселен, |
мына түрдегi интегралдар үшiн P(x)e xdx, |
P(x)sin xdx, |
P(x)cos xdx, |
мұндағы P(x)- көпмүшелiк, u- деп P(x)- |
көпмүшелiгiн |
қабылдаймыз, ал dv- деп интеграл астындағы сәйкес келесi өрнектердi
белгiлеймiз |
e xdx, sin xdx, cos xdx; |
келесi |
түрдегi |
P(x)ln xdx, |
||
P(x)arcsin xdx, |
P(x)arccosxdx интегралдар |
үшiн u- |
деп |
сәйкес |
||
ln x, arcsin x, |
arccosx функцияларын, |
ал dv- |
деп P(x)dx- |
өрнегiн |
176
белгiлеймiз. Дербес жағдайда, бөлiктеп интегралдауды керi тригонометриялық және логарифмдiк функциялардың интегралдарын тапқанда қолданамыз.
Төмендегі мысалдарды бөлiктеп интегралдау арқылы есептейміз: 1. xe 2xdx интегралын есептеңіз.
Шешуi: Бөлiктеп интегралдау әдiсiн қолданамыз. Интеграл астында
көпмүшелiк пен |
көрсеткiштiк функциялар көбейтiндiсi берiлген. Демек |
|||
u x, dv e 2xdx |
деп белгiлесек, онда du dx, |
v e 2xdx |
1 |
e 2x C, |
|
||||
|
|
2 |
|
мұндағы C тұрақты. Сондықтан оны C 0 деп есептеуге болады. (7.33) формуласын қолдана отырып, берiлген интегралды есептеймiз:
|
|
|
u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xe |
2x |
dx |
dv e 2x |
|
1 |
xe |
2x |
|
1 |
e |
2x |
dx |
1 |
xe |
2x |
|
1 |
e |
2x |
C . |
|||
du dx |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
v |
e |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. x2 cos2xdx интегралын есептеңіз.
Шешуi: Интеграл астында көпмүшелiк пен тригонометриялық функциялардың көбейтiндiсi берiлген және көпмүшелiк екiншi реттi болғандықтан, бөлiктеп интегралдауды екi рет қолданамыз:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
2 |
cos2xdx |
|
dv cos2xdx |
|
1 |
x |
2 |
sin2x xsin2xdx |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
du 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
sin2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
x |
2 |
sin2x |
dv sin2xdx |
|
1 |
|
x |
2 |
sin2x |
|
1 |
xcos2x |
1 |
cos2xdx |
|||||||||||||||||
|
|
du dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
sin2x |
|
xcos2x |
|
sin2x C. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. xarctgxdx интегралын есептеңіз.
Шешуi: Интеграл астында көпмүшелiк пен керi тригонометриялық функциялардың көбейтiндiсi берiлген, сондықтан интегралды мына түрде есептеймiз:
177
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv xdx |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
xarctgxdx |
|
du |
|
dx |
|
|
|
|
arctgx |
1 |
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 x2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
|
1 1 x2 1 |
|
x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 dx |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
arctgx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
1 x2 |
|
2 |
2 |
|
|
1 x2 |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
x |
|
arctgx C . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. lnxdx интегралын есептеңіз.
Шешуi: Интеграл астында логарифмдiк функция берiлген, сондықтан u - деп логарифмдiк функцияның өзiн белгiлеймiз.
|
u ln x |
|
|
|
|
ln xdx |
dv dx |
xlnx x |
dx |
xln x dx xln x x C. |
|
|
dx |
||||
|
|
||||
|
du |
|
|
x |
|
|
x |
||||
|
v x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. ex cosxdx интегралын есептеңіз.
Шешуi: Интеграл астында экспоненттiк және тригонометриялық функциялардың көбейтiндiсi берiлген, мұндай жағдайда қандай функцияны u- деп белгiлесек те бастапқы берiлген интегралға қайтып келемiз,
сондықтан I ex cosxdx белгiлеуiн енгiземiз.
|
u ex |
|
I ex cosxdx |
dv cosxdx |
ex sinx ex sinxdx |
|
du exdx |
|
|
v sinx |
|
uex
ex sin x dv sin xdx ex sin x ex cosx ex cosxdx ex sin x ex cosx I . du exdx
vcosx
Бұл теңдiктегi I - дi теңдеудiң сол жағына шығарамыз, сонда
2I ex sin x ex cosx |
бұдан I |
ex sinx ex cosx |
, яғни берiлген интеграл |
|
|||
|
2 |
|
ex cosxdx ex sin x ex cosx болады. 2
178
Төмендегі анықталмаған интегралдарды есептеймiз:
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
5x |
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 5 |
|
x |
|
|
dx 3 |
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
3 x 5dx 3 x 4dx |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
4 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x8 |
|
15x5 |
x3 |
|
|
|
1 |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||
2. |
|
3x |
2dx |
3dx dt |
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
t |
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
3x 2 5 |
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
5x 8 t |
|
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln 5x 8 C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
5dx dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
lnt C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. sin 6x 5 dx |
|
6x 5 t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos 6x 5 C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6dx dt |
|
|
sintdt |
cost C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Көрсетiлген 2,3 және 4 есептерге ұқсас есептерді келесi әдiстермен де шығаруға болады.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. 7 |
5x 3 |
dx |
1 |
|
5x 3 |
|
|
d 5x 3 |
1 5x 3 7 |
C |
|||||||||||||||||||||
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
7 5x 3 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5x 3 3 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dx |
50 |
|
|
d 3 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
|
1 |
|
|
1 |
ln 3 7x C . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
3 7x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. cos 4x 9 dx |
1 |
|
cos 4x 9 d 4x 9 |
1 |
sin 4x 9 C. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
179