Уравнение плоскости

Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произвольная точка и вектор

Уравнение

(1)

определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору

В уравнении (1) раскроем скобки

.

Выражение, стоящее в скобках обозначаем через D, тогда получим

(2)

Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Если в общем, уравнении плоскости коэффициент D ≠ 0то, разделив все члены уравнения на- D,уравнение плоскости можно привести к виду

(3)

здесь Это уравнением плоскости в «отрезках» в нема, b и ссоответствует абсциссе, ординате и аппликате точек пересечения плоскости с осями координатО_х, О_у, О_z.

При любом расположении (2) плоскостей П₁, П₂

(4)

в пространстве один из углов между ними равен углу между их нормальными векторамии вычисляется по формуле

(5)

Если два уравнения (4) определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны

(6)

Если плоскости П₁ и П₂параллельны, то коллениарны их нормальные векторыи наоборот. Но тогда

(7)

Условие (7) является условием параллельности плоскостей.

Если же плоскости П₁ и П₂ перпендикулярны, то перпендикулярны их нормальные векторы. Но тогда их скалярное произведение равно 0, т.е.

(8)

Равенство (8) определяет условие перпендикулярности плоскостей.

Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана системой уравнений двух плоскостей

, (1)

пересекающихся по этой прямой.

Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой. Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, по этому используют специальный вид уравнения прямой.

Пусть дана прямая Lи ненулевой векторлежащий на данной прямой или параллельно ей. На прямойLвозьмем точкуMтогда уравнение этой прямой можно записать следующим образом

(2)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой.

От канонических уравнений прямой, введя параметр t, легко можно перейти к параметрическим уравнением:

(3)

Пусть заданы две прямые каноническими уравнениями.

и

При любом расположении этих прямых в пространстве, один из двух углов между ними равен углу между их направляющими векторами. Уголможно вычислить по формуле

(4)

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве имеют следующий вид

(5)

(6)

Рассмотрим теперь взаимное расположение прямой и плоскостиAx+By+Cz+D=0.

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

(7)

Условием параллельности прямой и плоскости является условие

(8)

а условием перпендикулярности прямой и плоскости

(9)

Список основной и дополнительной литературы

6.1 Основная литература

1. Я.С. Бугров, С.М.Никольский. Элементы лин. алгебры и ан. геометрии, М.: Наука, 1980.

2. Я.С. Бугров, С.М.Никольский. Дифф. и интегральное исчисление, М.: Наука, 1980.

3. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, т.2, М.:Наука,1976.

4. Г. Н. Берман Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.– 1985.

6.2. Дополнительная литература

1. С.М.Никольский. Курс математического анализа. т. 1,2. - М.: Наука, 1983.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике ч.1-2. Под редакцией Рябушко А.П. Минск.: Вышейшая школа, 2001г.

3. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов. М.– Высшая школа.–1986.

4. Б.У.Аубакир Методические разработки темы: «Неопределенный интеграл» для практических занятий. Методическое пособие. Целиноград, 1991.

5. Б.У.Аубакир, Т.Д.Туканаев, Ж.Уатай Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Учебно-методическое пособие. Астана, 2005.

ИДЗ стр. 32 ИДЗ 1.1 (1; 2)

ИДЗ 1.2 (1; 2; 3; 4)

стр. 75 ИДЗ 2.2 (1)

стр. 97 ИДЗ 3.1 (1; 2)

стр. 106 ИДЗ 3.2

стр. 131 ИДЗ 4.1