Векторы, операции над ними.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор характеризуется двумя величинами: длиной и направлением. Также вектор можно задать указав его начало и конец. Векторы обозначают следующим образом: AB,a .

Вектор начало и конец, которого совпадают, называется нулевым. Векторы а и в называются коллинеарным, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы а и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

Если вектор задан началом А(х₁,у₁)и концомВ(х₂;у₂), то координаты вектораАВможно определить такАВ

Длина вектора АВопределяется как расстояние между двумя точками:

(1)

Пусть задана ось lи некоторый векторАВ. Проекцией вектораАВна осьlназывается величинаАВна осиl. Проекция вектораАВна осьlравна длине вектораАВ, умноженной на косинус угла между векторомАВи осьюl, т.е.

Пр_и(2)

Направляющими косинусами вектора аназываются косинусы углов между векторомаи осями координат. Направляющие косинусы векторааможноопределить по формулам

Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.

Определение 1. Суммой называется вектор, который идет из начала векторав конец векторапри условий, что векторприложен к концу вектора.

Определение 2. Разностью векторовиназывается вектор, который в сумме с векторомдает вектор.

Определение 3. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору, имеет длину, равнуюи направление такое же, как и вектор, если>0 и противоположное, если<0.

Пусть даны векторы и. Тогда сумма векторов в координатной форме записывается

,

разность векторов

,

умножение вектора на число 

.

Определение 4. Скалярным произведением двух ненулевых векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

(4)

Если векторы изаданы координатами, то скалярное произведение можно вычислить по формуле

(5)

Свойства скалярного произведения векторов:

. (переместительное свойство)

.

.

.

. , если

Следствие. Угол между векторами иопределяется по формуле

(6)

или

(7)

Сформируем условия параллельности иперпендикулярности двух векторов и

1. Векторы иперпендикулярны, если их скалярное произведение равно, то есть

(8)

или

(9)

2. Векторы ипараллельны, если их соответствующие координаты пропорциональны

(10)

Определение 5. Векторным произведением вектора на векторназывается векторc, который:

1. перпендикулярен векторам и;

2. имеет длину , - угол между векторамии;

3. с конца вектора кратчайший поворот от векторак векторувиден совершающимся против часовой стрелки.

Обозначается

Геометрический смыслвекторного произведения: в результате векторного произведения получается вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах.

Свойства векторного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Если , тогда.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведениемвекторовиназывается произведение, составленное следующим образом:и обозначается.

Геометрический смыслсмешанного произведения: в результате смешанного произведения получается число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторахикак на ребрах

Свойства смешанного произведения:

1. ;

2.

3. вектораикомпланарны.

Если , тогда.