Часть 5. Элементы теории случайных процессов

Задача 28. Элементарный случайный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Задача 29. Цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Задача 30. Уравнения Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Задача 31. Теория массового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Приложение. Таблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Вопросы по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" Случайные события и случайные величины

I. Случайные события и их вероятности

1. Случайные, достоверные, невозможные события.

2. Понятие вероятности. Статистическое определение вероятности, относительная частота события.

3. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.

4. Сумма и произведение событий. Диаграммы Эйлера.

5. Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Противоположные события.

6. Вероятность суммы двух событий, совместных и несовместных.

7. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий. Полная группа попарно несовместных событий, вероятность противоположных событий.

8. Вероятность суммы нескольких совместных событий.

9. Зависимые и независимые события, условная вероятность.

10. Вероятность произведения событий.

11. Понятие надежности, расчет надежности сложных систем.

12. Формула полной вероятности. Гипотезы. Формулы Бейеса.

II. Случайные величины. Закон распределения

1. Случайная величина (СВ). Дискретные и непрерывные СВ.

2. Связь случайных величин и случайных событий.

3. Понятие закона распределения.

4. Ряд распределения, его свойства. Вероятность попадания СВ в заданный интервал.

5. Функция распределения СВ и ее свойства. Вероятность попадания СВ в заданный интервал.

6. Плотность распределения СВ и ее свойства. Вероятность попадания СВ в заданный интервал.

7. Числовые характеристики случайных величин:

• математическое ожидание, его свойства (независимые СВ);

• мода, медиана;

• дисперсия, ее свойства; стандартное отклонение;

• начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс.

III. Простейшие законы распределения

1. Равномерное распределение, его свойства.

2. Показательное распределение, его числовые характеристики. Функция надежности.

3. Биномиальное распределение: повторение опытов, формула Бернулли. Числовые характеристики биномиального распределения.

4. Распределение Пуассона, его числовые характеристики. Распределение Пуассона как предельное для биномиального. Случайное поле точек. Пуассоновское поле. Поток событий. Случайные величины, рассматриваемые в потоке событий. Пуассоновский поток, простейший поток.

5. Стандартное нормальное распределение, его числовые характеристики, функция распределения, вероятность попадания в заданный интервал.

6. Произвольное нормальное распределение, его анализ.

7. Центральная предельная теорема. Следствие: теорема Муавра-Лапласа.

8. Предельные случаи биномиального распределения.

9. Распределения, связанные с нормальным: Хи-квадрат, Cтьюдента, Фишера.