algoritm / методи_алгор_обчисл_пр

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ, МОЛОДI ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Днiпропетровський нацiональний унiверситет залiзничного транспорту iменi академiка В. Лазаряна

Кафедра «Прикладна математика»

АЛГОРИТМИ ТА МЕТОДИ ОБЧИСЛЕНЬ

Методичнi вказiвки до практичних занять з дисциплiни

«Алгоритми та методи обчислень»

Укладачi: Т. Ф. Михайлова

Ю. А. Максименкова I. В. Нечай

Для студентiв зi спецiальностi 7.091501Компьютернi системи та мережi

Днiпропетровськ — 2013

Практична робота № 1

Тема: Методи розв’язання систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Мета: Навчитися розв’язувати системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь

вiдомими чисельними методами (метод простої iтерацiї, метод Зейделя) за допомогою ЕОМ .

1. Порядок виконання роботи

1.1.Ознайомитися з основними теоретичними вiдомостями.

1.2.Обрати програмне середовище.

1.3.Розробити та реалiзувати програму на ЕОМ, яка знаходить розв’язки системи рiвнянь одним iз запропонованих методiв .

1.4.Пiдготувати звiт до захисту.

2. Змiст звiту

2.1.Назва i мета практичної роботи.

2.2.Постановка задачi.

2.3.Короткi теоретичнi вiдомостi.

2.4.Текст програми.

2.5.Результати роботи програми.

2.6.Аналiз результатiв i висновки.

Основнi теоретичнi вiдомостi

1. Метод простої iтерацiї.

Розглянемо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь

де A - лiнiйний оператор у скiнченновимiрному просторi Rn, якому вiдповiдає матриця [aij]i;j=1;n,x = (x1; x2; :::; xn)′ Rn, b = (b1; b2; :::; bn)′ Rn. Припустимо, що detA ≠ 0 i (1) має єдиний розв’язок x . Зведемо (1) до

вигляду

де α - лiнiйний оператор в Rn, що визначається матрицею [αij]i;j=1;n, β = (β1; β2; :::; βn)′ Rn, x = (x1; x2; :::; xn)′n Rn. Задаючи початкове набли-

ження x0 = β, кожне наступне наближення знаходимо за формулою

Умови збiжностi методу простої iтерацiї дає теорема

3

Теорема: Якщо норма матрицi α обмежена правильним додатним дробом q ( α ≤ q < 1), то iтерацiйний процес (3) збiгається до точного розв’язку системи x iз швидкiстю геометричної прогресiї зi знаменником q, тобто

Систему (1) можна привести до вигляду (2) будь-яким способом, наприклад так: iз k-го рiвняння системи (1)

ak1x1 + ak2x2 + ::: + akkxk + ::: + aknxn = bk

визначимо xk

Тодi матриця α = [αkj]k;j=1;n i вектор β = [βk]k=1;n в одержанiй системi (2) визначаються так:

Враховуючи перетворення (1) до виду (2), умову збiжностi процесу (3) можна сформулювати так: iтерацiйний процес для системи (1) буде збiгатися, якщо дiагональнi елементи матрицi A за абсолютною величиною будуть перевищувати суму абсолютних величин елементiв рядка чи стовпця, тобто

=1;k=j

Якщо для системи (1) виконана умова збiжностi методу простих iтерацiй, то наближення розв’язку iз заданою точнiстю може бути одержане за скiнченну кiлькiсть p iтерацiй, яку можна визначити, використовуючи оцiнку

(4). Оскiльки початкове наближення x0 є довiльним, то можна покласти

x0 = β, тодi:

x1 = αβ + β x1 − x0 = αβ;

4

10x1 + 2x2 − x3 + 2x4 + 4 = 0:

Для цiєї системи не виконанi умови (5) i (6), тобто метод простої iтерацiї для еквiвалентної їй системи x = αx + β, побудованої згiдно (4), збiгатись не буде. Зведемо систему до виду, для якого виконуватимуться умови (5) i (6), за допомогою перетворень:

1.рiвняння IV поставимо першим, I′ = IV ;

2.рiвняння II′ нової системи одержимо як II′ = I − II;

3.рiвняння II поставимо третiм, III′ = II;

4.рiвняння IV ′ одержимо за правилом IV ′ = 2·III −IV +2·I −II, тобто

2(5x1 −3x2 +x3 −4x4 −1)−(10x1 +2x2 −x3 +2x4 +4)+2(2x1 +3x2 +4x3 + x4 − 3) + (x1 − 2x2 − 5x3 + x4 − 2) = 0 3x1 + 0x2 + 0x3 − 9x4 − 10 = 0:

Одержимо систему

5

матриця якої задовольняє умови (5) i (6) збiжностi методу простих iтерацiй, а еквiвалентна їй система має вигляд

0; 8k < 0; 0009, звiдки k = 32.

2.Метод Зейделя є модифiкованим методом простої iтерацiї. Як i у попередньому випадку систему (1) потрiбно звести до виду (2). Для простоти подальших викладок запишемо систему (2) у розгорнутому виглядi

Задаючи початкове наближення x0 = (x01; x02; :::; x0n), координати наступних

6

Тобто для визначення кожної координати (k+1)-го наближення використовується вся iнформацiя про k-те i (k + 1)-е наближення. Метод Зейделя можна iнтерпретувати як метод покоординатного спуску.

Достатнi умови збiжностi методу Зейделя тi самi, що i методу простих iтерацiй (5) i (6). У бiльшостi випадкiв метод Зейделя дає швидшу збiжнiсть у порiвняннi з методом простих iтерацiй.

Приклад 2. Розглянемо систему

4; 5x1 − 1; 8x2 + 3; 6x3 = −1; 7

3; 1x1 + 2; 3x2 − 1; 2x3 = 3; 6 1; 8x1 + 2; 5x2 + 4; 6x3 = 2; 2:

Зробимо елементарнi перетворення i приведемо систему до вигляду, який задовольняє умовам (5) i (6). Отримаємо систему

x1 = 0; 24x1 − 0; 05x2 − 0; 24x3 + 0; 19;

x2 = −0; 22x1 + 0; 09x2 − 0; 44x3 + 0; 97; x3 = 0; 13x1 − 0; 02x2 + 0; 42x3 − 0; 14:

Розв’яжемо цю систему рiвнянь методом Зейделя з точнiстю до ε = 0:001. Для цiєї системи α = max{0; 53; 0; 77; 0; 57} = 0; 77 < 1. Отже, процес Зейделя збiгається.

x11 = 0; 19; x02 == 0; 97; x03 = −0; 14; x01 = 0; 2207;

x12 = −0; 22x11 + 0; 09x02 − 0; 44x03 + 0; 97 = 1; 0703; x13 = 0; 13x11 − 0; 02x12 − 0; 42x03 − 0; 14 = −0; 1915:

Результати обчислень помiстимо в таблицi

Таблиця 1

Таким чином, x1 ≈ 0; 248 , x2 ≈ 1; 115 , x3 ≈ −0; 224.

7

Для розв’язку систем лiнiйних алгебраiчних рiвнянь (1) можна застосовувати i точнi методи: метод Гаусса, метод оберненої матрицi

x= A−1b

увипадку, коли визначник det A ≠ 0.

Для виконання лабораторної роботи доцiльно використати пакет Maple 8.

Завдання для самостiйної роботи

Привести (якщо потрiбно) систему до вигляду, придатного для iтерацiй та розв’язати її з точнiстю 0; 001 методом простої iтерацiї або методом Зейделя.

8

9

Практична робота № 2

Тема: Розв’язання нелiнiйних рiвнянь та систем методом простої iтерацiї.

Мета: Навчитися розв’язувати алгебраїчнi та трансцендентнi рiвняння та системи методом простої iтерацiї за допомогою ПЕОМ .

1. Порядок виконання роботи

1.1.Ознайомитися з основними теоретичними вiдомостями.

1.2.Обрати програмне середовище.

1.3.Розробити та реалiзувати програму на ЕОМ, яка знаходить розв’язки нелiнiйних рiвнянь та систем методом простої iтерацiї.

1.4.Пiдготувати звiт до захисту.

Припустимо, що система (1) допускає лише iзольованi коренi. Функцiї f1(x1; x2; :::; xn); : : : ; fn(x1; x2; :::; xn) неперервно диференцiйованi в Rn, де

x= (x1; x2; :::; xn) X Rn, F оператор в Rn(D(F ) = X), що переводить

xв нуль простору Rn.

Для того щоб систему (1) можна було роз’вязати методом простої iтерацiї необхiдно звести до вигляду

10