Таблиця 3.6

і	Базис	Сбаз	План	с1 + t0 p1	...	cm + t0 pm	...	cn + t0 pn
				x1	...	xm	...	xn
1	x1	с1 + t0 p1		a11	...		...
2	x2	с2 + t0 p2		a21	...		...
…	…	…	…	…	…	…	…	…
m	xm	cm + t0 pm		am1	...		...
m + 1
m + 2					...		...
m + 3	Fj – cj  0				...		...

Таблиця (аналогічно випадку параметричної зміни вектора обмежень —табл. 3.5) містить два додаткових рядки, що дає змогу стежити за перетвореннями величин після кожної ітерації.

Очевидно, що задача параметричної зміни вектора обмежень є двоїстою до параметричної зміни вектора коефіцієнтів цільової функції, тому можна скористатись алгоритмом розв’язування параметричної задачі, що наведено в попередньому параграфі.

1. Слід зафіксувати деяке значення і розв’язати задачу (3.84)—(3.86) як звичайну задачу лінійного програмування симплексним методом.

2. Оптимальний план з останньої симплексної таблиці 3.6 є сумою двох доданків, значення яких знаходяться в рядках та, причому має виконуватися умова невід’ємності всіх компонент вектора, що є оцінками параметрів останньої симплексної таблиці, тобто

.

3. Встановлюємо границі значень параметра t, для яких вектор залишатиметься оптимальним планом. Для цього з останньої симплексної таблиці складаємо систему нерівностей

. (3.87)

а) Якщо існують такі значення j, для яких , тоді розв’язками відповідних нерівностей будуть:

. (3.88)

У такий спосіб визначають нижню границю шуканого інтервалу, яка може дорівнювати а або бути меншою за неї: .

Якщо немає , тобто всі, то значення t, для яких знайденийбуде оптимальним, знизу не обмежені, тобто.

б) Якщо існують такі значення і, для яких , то розв’язками відповідних нерівностей будуть:

. (3.89)

З цих розв’язків визначають верхню границю шуканого інтервалу, яка може дорівнювати або бути більшою за а (). Якщо немає, тобто всі, то сукупність значеньt, для яких знайдений план буде оптимальним, зверху необмежена () і в цьому останньому випадку задача розв’язана повністю, оскільки

.

4. Система (3.74) визначає вектор, який необхідно вивести з базису. Припустимо, що за деякого , де, мінімальне значення в (3.89), яке визначає верхню границю інтервалу, досягається для. Отже, порушуєтьсяk-та нерівність із (3.87), і з базису необхідно виводити вектор, що відповідає змінній . Тому принеобхідно провести заміну базису, для чого виконують один крок двоїстого симплекс-методу, розглянутого в§ 3.6, і визначають нове значення .

5. Розглядаємо знову систему нерівностей (3.87). Для за формулою (3.77) визначаємо верхню границютих значеньt, для яких відшуканий план буде оптимальним.

6. Процедуру повторюємо доти, поки не отримаємо значення верхньої границі чергового інтервалу, що дорівнює або перевищує верхню границю заданого інтервалу можливих значеньt, тобто

. (3.90)

Співвідношення (3.90) і є ознакою того, що задачу розв’язано.

Отже, заданий проміжок поділяють на ряд інтервалів, для кожного з яких максимум цільової функ­ції досягається за відповідного йому одного оптимального плану.

Розв’язати параметричну задачу

Нехай . Розв’яжемо задачу модифікованим симплекснимметодом, використовуючи таблицю з двома додатковими рядками.

Базис	Сбаз	План	–1	1	0	0	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	0	10	3	2	1	0	0	0
x4	0	–2	–1	–1	0	1	0	0
x5	0	3	–2	1	0	0	1	0
x6	0	5	3	–2	0	0	0	1	—
 j		0	3	–2	0	0	0	0
pj		0	–2	1	0	0	0	0
Fj – cj  0		0	1	–1	0	0	0	0
x3	0	4	7	0	1	0	–2	0
x4	0	1	–3	0	0	1	1	0
x2	1	3	–2	1	0	0	1	0
x6	0	11	–1	0	0	0	2	1
 j		6	–1	0	0	0	2	0
pj		–3	0	0	0	0	–1	0
Fj – cj  0		3	–1	0	0	0	1	0
x1	–1	4/7	1	0	1/7	0	–2/7	0
x4	0	19/7	0	0	3/7	1	1/7	0
x2	1	29/7	0	1	2/7	0	3/7	0
x6	0	81/7	0	0	1/7	0	12/7	1
 j		46/7	0	0	1/7	0	12/7	0
pj		–3	0	0	0	0	–1	0
Fj – cj  0		25/7	0	0	1/7	0	5/7	0

Остання симплексна таблиця містить перший оптимальний план задачі

Верхня границя першого проміжку згідно з (3.89) дорівнює . Отже, на інтерваліпланбуде оптимальним, причому оптимальне значення цільової функції буде такою лінійною функцією параметраt:

і при .

Оскільки при елементm + 2 рядка та п’ятої колонки буде нульовим, беремо п’яту колонку за розв’язувальну і, відкинувши m + 2 рядок, здійснюємо одну ітерацію. Отримаємо таку таблицю:

Базис	Сбаз.	План	–1	1	0	0	0	0
			х1	х2	х3	х4	х5	х6
х1	–1	5/2	1	0	1/6	0	0	1/6
х4	0	7/4	0	0	5/12	1	0	–1/12
х2	1	5/4	0	1	1/4	0	0	–1/4
х5	0	81/12	0	0	1/12	0	1	7/12
Δj		–5	0	0	0	0	0	–1
pj		15/4	0	0	1/12	0	0	7/12

В m + 3 рядку цієї таблиці немає від’ємних елементів, а тому згідно з формулою (3.89) знайдений план буде оптимальним для всіх значеньt, що лежать на інтервалі . Оптимальне значення цільової функції є такою лінійною функцією параметраt:

.

При .

Отже, задача розв’язана повністю.

Заключні зауваження

Поняття двоїстості задач лінійного програмування має велике значення не лише в теоретичному плані, але й широко застосовується для обґрунтування та прийняття практичних рішень. Двоїстість у лінійному програмуванні була розроблена академіком Л. В. Канторовичем ще 1933 року. 1975 року Л. В. Канторович і американський математик Г. Купманс за відкриття теорії двоїстості та її застосування в економічних дослідженнях одержали Нобелівську премію. Значні теоретичні досягнення в цій галузі мали В. В. Новожилов, В. С. Нєм­чинов, А. І. Лур’є, В. С. Миха­левич, Ю. М. Єрмолєв та інші вчені.

Двоїсті задачі мають чітку геометричну та економічну інтерпретацію. Теореми двоїстості широко використовуються в економічних дослідженнях. У 70-х роках у Радянському Союзі велась дискусія з приводу застосування двоїстих оцінок в економіці. Економісти того часу недооцінювали цю важливу економічну категорію. Проблема полягала ще й у тому, що ціни в Радянському Союзі були необґрунтованими. При визначенні рівня цін, що здебільшого встановлювалось адміністративно, не враховувались реальні витрати живої та уречевленої праці, попит на продукцію та її пропозиція на ринку. Радянські економісти також не розуміли, чому недефіцитні ресурси мають нульову оцінку.

Контрольні запитання

1. У чому сутність теорії двоїстості у лінійному програмуванні?

2. Побудуйте просту економіко-математичну модель. Запишіть до неї двоїсту. Дайте економічну інтерпретацію двоїстих оцінок.

3. Які взаємоспряжені задачі називаються симетричними, а які — несиметричними? Чим вони відрізняються?

4. Скільки змінних та обмежень має двоїста задача відповідно до прямої?

5. Сформулюйте першу теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.

6. Сформулюйте другу теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.

7. Сформулюйте третю теорему двоїстості та дайте її економічне тлумачення.

8. Сформулюйте правила побудови двоїстих задач.

9. Як за розв’язком прямої задачі знайти розв’язок двоїстої?

10. Запишіть усі можливі види прямих і двоїстих задач.

Приклади та завдання для самостійної роботи

До наведених нижче задач записати двоїсті задачі лінійного програмування. Розв’язати одну із задач симплекс-методом і визначити оптимальний план другої задачі, застосовуючи співвідношення першої теореми двоїстості.

Задача 3.1. mах z = –30x₁ + 10x₂;

Задача 3.2. min z = 4x₁ + 3x₂ + x₃;

Задача 3.3. max z = 3x₁ + 2x₂ + 5x₃;

157