Таблиця 3.5

і	Базис	Сбаз			План	с1	...	cm+1	...	cn
						x1	...	xm+1	...	xn
1	x1	с1				a11	...		...
2	x2	с2				a21	...		...
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
m	xm	сm				am1	...		...
m + 1	Fj – cj  0						...		...

Таблиця містить два додаткових стовпчики, що дає змогу стежити за перетвореннями величин після здійснених ітерацій.

Оскільки таблиця 3.5 містить за допущенням оптимальний план задачі (3.66)—(3.68) , то має виконуватися умова невід’ємності всіх компонент вектора (3.72), отже,

(3.73)

Допустимо тепер, що у формулі (3.73) параметр t₀ не фіксований, а може набувати довільних значень на заданому інтервалі [а; b]. Якщо для всіх цих значень параметра нерівності (3.73) задовольняються, тобто

, (3.74)

то це означає, що знайдений план оптимальний для всіх значеньі є розв’язком параметричної задачі (3.66)—(3.68). Проте в загальному випадку нехай за певних значень нерівності (3.73) не задовольняються і план уже не буде оптимальним. Тому необхідно виявити множину всіх значень(де проміжок [а₀; b₀] менший, ніж [а; b]), для яких знайдений план є оптимальним, і, виключивши її з подальшого розгляду, знаходити оптимальний план для другої множини точок з інтервалу і т. д. Отже, процес розв’язання параметрич­ної задачі передбачає послідовний поділ заданого проміжкузміни параметраt на ряд таких підпроміжків, щоб для всіх значень того самого підпроміжку оптимум цільової функції досягався в одній точці (вершині) багатогранника планів задачі, але щоб кожному підпроміжку зміни параметра відповідав окремий оптимальний план.

Отже, розв’язування параметричної задачі (3.66)—(3.68) по­чинають з деякого значення і записують задачу (3.66)—(3.68) у вигляді початкової симплексної таблиці, що має виг­ляд, аналогічний таблиці 3.5. Знаходять симплексним методом оптимальний план задачі (якщо він існує) для даного значення параметра (таблиця 3.5). Зазначимо, що значення компонент оптимального плану подається у вигляді двох доданків, що містяться в двох додаткових стовпчикахта. Загальні значення цільової функції оптимального плану розраховують додаванням до суми стовпцясуми стовпця, помноженої на(згідно з 3.72). Отже, величинає лінійною функцією параметраt.

Визначимо границі значень параметра t, для яких вектор буде оптимальним планом. Для цього з остаточної таблиці 3.5, де, складаємо і розв’язуємо систему нерівностей (3.74). У разі існування оптимального плану задачі при система нерівностей (3.74), очевидно, сумісна, оскільки існує хоча б один її розв’язок. Зрозуміло також, що обов’язково деякі з , бо інак­ше параметричної задачі не було б. Слід розрізняти два випадки при розв’язанні системи нерівностей (3.74):

а) Якщо існують такі значення і, для яких , тоді розв’язками відповідних нерівностей будуть:

, (3.75)

що дає нижню границю шуканого інтервалу, яка може дорівнювати а або бути меншою за неї: а₀ ≤ а.

Якщо немає , тобто всі, то значенняt, для яких знайдений план буде оптимальним, знизу не обмежені, тобто.

б) Якщо існують такі значення і, для яких , то розв’яз­ками відповідних нерівностей будуть:

. (3.76)

В такому разі розв’язок системи нерівностей дає верхню границю шуканого інтервалу, яка може дорівнювати або бути більшою за а (). Якщо немає , тобто всі, то сукупність значеньt, для яких знайдений план буде оптимальним, зверху необмежена (), і в цьому останньому разі задача розв’язана повністю, оскільки

.

Отже, для верхньої границі шуканого інтервалу дістаємо формулу:

(3.77)

Аналогічна формула для нижньої границі має вигляд:

(3.78)

За найменшого виходу величини t за межі визначеного інтервалу [a₀; b₀] значення нового оптимального плану буде від’ємним (порушуватимуться умови системи нерівностей (3.74)).

Тобто (3.74) визначає вектор, який необхідно вивести з базису. Припустимо, що за деякого , де, мінімальне значення в (3.77), яке визначає верхню границю інтервалу, досягається для. Отже, порушуєтьсяk-та нерівність із (3.74), і з базису необхідно виводити вектор, що відповідає змінній . Тому принеобхідно здійснити зміну базису, для чого виконують один крок двоїстого симплекс-методу, розглянутого в § 3.6., і визначають нове значення.

Далі розглядають знову систему нерівностей (3.74). Для за формулою (3.77) визначають верхню границютих значеньt, для яких відшуканий план буде оптимальним. Таку процедуру повторюють доти, поки не отримають значення верхньої границі чергового інтервалу, що дорівнює або перевищує верхню границю заданого інтервалуможливих значеньt, тобто

. (3.79)

Співвідношення (3.79) і є ознакою того, що задачу розв’язано.

Отже, заданий проміжок [a; b] поділяють на ряд інтервалів [a; b₀], [b₁; b₂], … [b_s–1; b], для кожного з яких максимум цільової функції досягається за відповідного йому одного оптимального плану.

3.7.2. Параметричні зміни вектора коефіцієнтів цільової функції

Розглянемо випадок лінійної залежності коефіцієнтів цільової функції від параметра, можливі значення якого задані неперервним числовим інтервалом, тобто в задачі лінійного програмування

(3.80)

(3.81)

(3.82)

допустимо, що

. (3.83)

Усі ж інші коефіцієнти і вільні члени залишаються сталими величинами.

Запишемо параметричну задачу такого виду в загальній формі:

(3.84)

(3.85)

. (3.86)

За деякого фіксованого значення задача (3.84)—(3.86) перетворюється в звичайну задачу лінійного програмування. Зміни коефіцієнтів цільової функції в процесі реалізації симплексного методу впливатимуть на значення оцінкового ряду ().

Для оптимального плану задачі лінійного програмування в постановці (3.36)—(3.38), як відомо з § 2.7.4, оцінки векторів розраховують так:

.

Якщо цільова функція має вигляд (3.84), то оцінки векторів розраховуватимуться за формулою:

Позначимо перетворені методом повних виключень Жордана—Гаусса в процесі перерахунку початкової симплексної таблиці через, аналогічно— як. Остання симплексна таблиця набуде такого виг­ляду: