4.5. Аналіз коефіцієнтів цільової функції

Під впливом різних обставин ціна виробленої на підприємстві одиниці продукції може змінюватися (збільшуватися чи зменшуватися). І тому завжди цікаво і важливо знати, у межах яких змін цін на продукцію кожного виду структура оптимального плану виробництва ще може залишатися такою самою, тобто оптимальною (найкращою) навіть за цих певних змін.

Для визначення інтервалів зміни коефіцієнтів цільової функції скористаємось розглянутими в § 3.5.2 положеннями. Як було з’ясовано, перетворення симплексної таблиці за змін коефіцієнтів цільової функції стосуються лише елементів оцінкового рядка. Дослідимо питання зміни коефіцієнтів цільової функції для прикладу 4.1. Нехай змінюється ціна на одиницю продукції виду С, тобто початкове значення 3 ум. од. подамо як , де — величина зміни ціни одиниці продукції виду С. Тоді симплексні перетворення матимуть вигляд:

Базис	Сбаз		План		2		4		3 +	4	0	0	0
					х1		х2		х3	х4	х5	х6	х7
х5	0		250		2		5		2	4	1	0	0
х6	0		280		1		6		2	4	0	1	0
х7	0		80		3		2		1	1	0	0	1
Zj – cj  0			0		–2		–4		– 3	– 4	0	0	0
х4	4		62,5							1		0	0
х6	0		30		–1		1		0	0	–1	1	0
х7	0		17,5				1			0	–	0	1
Zj – cj  0			69		0		6		–1	0	1	0	0
х4		4		45		–2			0	1		0	–1
х6		0		30		–1		1	0	0	–1	1	0
х3		3 +		35		5		3/2	1	0	–	0	2
Zj – cj  0			285 + 35		5 + 5		5/2 + 3/2		0	0	1/2 – 1/2	0	2 + 2

Симплекс-таблиця, яка відповідає оптимальному плану, зберігає свій вигляд за винятком елементів стовпчика «С_баз» що, у свою чергу, впливає на значення всіх ненульових оцінок (Z_j – c_j). Для базисної змінної х₃ зміна коефіцієнта цільової функції на c₃ приведе до таких оцінок:

(F₁ – c₁) = 4  (–2) + 0  (–1) +(3 + c₃) 5 – 2 = 5 + 5c₃;

(F₂ – c₂) = 4  1/2 + 0  1 + (3 + c₃) 3/2 – 4 = 5/2 + 3/2c₃;

(F₅ – c₅) = 4  1/2 + 0  (–1)+ (3 + c₃) · (– 1/2 )– 0 = 1/2 – 1/2c₃;

(F₇ – c₇) = 4  (–1) + 0  0 + (3 + c₃) · 2 – 0 = 2 + 2c₃.

Враховуючи систему нерівностей (3.50), нові значення оцінок мають задовольняти умову оптимальності, тобто Z_j – c_j  0. Тому інтервал для c₃ визначається з такої системи нерівностей:

;

.

Отже, ціна одиниці продукції виду С може збільшуватися чи змен­шуватися на 1 ум. од. і бути в межах від 2 до 4 ум. од., але оптимальним планом виробництва продукції залишається Х^* = (0; 0; 35; 45).

Для базисної невідомої х₄ інтервал зміни коефіцієнта с₄ розраховується аналогічно:

;

.

Якщо за інших однакових умов ціна одиниці продукції D змен­шиться до 3 ум. од. або збільшиться до 6 ум. од., то визначений оптимальний план виробництва продукції на підприємстві (Х* = = (0; 0; 35; 45)) немає необхідності змінювати.

Розрахунок інтервалів зміни значень коефіцієнтів цільової функції для небазисних змінних виконується згідно із співвідношенням (3.52):

Симплекс-таблиця, яка відповідає оптимальному плану, зберігає свій вигляд за винятком ненульових значень оцінкового рядка (Z_j – c_j). Нові оцінки (Z_j – c_j) мають задовольняти умову оптимальності задачі максимізації цільової функції, тобто бути невід’ємними.

Зміну коефіцієнта с₁ позначимо через с₁. Оскільки х₁ — небазисна змінна, то в симплекс-таблиці зміниться лише відповідна їй оцінка Z₁ – c₁:

(Z₁ – c₁) = 4  (–2) + 0  (–1) +3  5 – (2 + c₁) = 5 – c₁.

За умови Z₁ – c₁  0 дістанемо нерівність 5 – c₁  0, тобто c₁ ≤ 5. Це означає, що коли ціна одиниці продукції виду А за інших однакових умов зросте не більш як на 5 ум. од., то оптимальним планом виробництва продукції на підприємстві все одно залишиться Х^* = (0; 0; 35; 45). Лише максимальна виручка зміниться на max Z= c₁х₁.

Аналогічно розраховується інтервал зміни коефіцієнта c₂:

(Z₂ – c₂) = 5/2 – c₂ ≥ 0; c₂ ≤ 5/2.

Зі зростанням ціни одиниці продукції виду В не більш як на 5/2 ум. од. за інших однакових умов оптимальний план виробництва продукції не зміниться, а max Z = c₂x₂.

Якщо ж коливання ціни продукції вийдуть за визначені межі, то план Х = (0; 0; 35; 45) вже не буде оптимальним, і його необхідно буде поліпшити згідно з алгоритмом симплекс-методу, тобто продовжити розв’язання задачі.