Лекція № 3. Задача коммивояжера

На контейнерную площадку под выгрузку прибыли вагон (вагоны) с контейнерами. Каждый контейнер (2, 3, 4, 5) должен быть выгружен в соответствующую секцию (6, 7, 8, 9).

Продолжительности пробегов крана приведены в табл. 1. Найти оптимальную очередность выгрузки, обеспечивающую минимальную продолжительность грузовых операций, если в начальный момент кран находится в состоянии 1.

от \ до	2	3	4	5	6	7	8	9
1	0,5	0	0,5	1	-	-	-	-
2	-	-	-	-	5	-	-	-
3	-	-	-	-	-	6	-	-
4	-	-	-	-	-	-	2,3	-
5	-	-	-	-	-	-	-	2,5
6	-	5,2	6	6,5	-	-	-	-
7	6,6	-	5	4	-	-	-	-
8	2,5	2	-	3,5	-	-	-	-
9	6,5	5,9	5,6	-	-	-	-	-

Ввиду того, что продолжительность операций выгрузки контейнеров одинакова для всех вариантов, то достаточно оптимизировать направление возврата крана за очередным контейнером после выгрузки предыдущего. В этом случае матрица прбегов будет выглядеть следующим образом.

До От	1	6 (26)	7 (37)	8 (48)	9 (59)
1	-	5,5	6	2,8	3,5
6	0	-	11,2	8,3	9
7	0	11,6	-	7,3	6,5
8	0	7,5	8	-	6,0
9	0	11,5	11,9	7,9	-

Задача коммивояжера решается методом ветвей и границ. При этом перед очередной итерацией определяется верхняя граница решения В - т.е. лучшее решение которое мы знаем на данный момент. Выполняется направленный перебор вариантов на каждом шаге которого определяется нижняя граница решения Н - т.е. наименьшее возможное значение показателя при принятом на данном шаге порядке обхода вершин. Если на каком-то шаге нижняя граница превысит верхнюю, то от дальнейший перебор вариантов в данном прекращается и выполняется анализ альтернативных решений. Если получено допустимое решение, то изменяется верхняя граница и выполняется анализ альтернативных решений.

1. Составить произвольный план, например (1,6) (6,7) (7,8) (8,9) (9,1). Продолжительность возвратов крана а контейнерами составит 5,5+11,2+7,3+6,0+0=30. Полученный результат представляет собой верхнюю границу В=30.

2) Выполнить редукцию строк и столбцов матрицы. Для этого в каждой строке определяем минимальный элемент и вычитаем его со всех элементов строки. После этого та же операция повторяется со столбцами. (В данной таблице редукцию строк не выполняем т.к. каждая из них содержит ) 0.

	1	6	7	8	9	Ci	Ai
1	-	0	0	0	0	0	0
6	0	-	5,2	5,5	5,5	0	5,2
7	0	6,1	-	4,5	3	0	3,0
8	0	2	2	-	2,5	0	2,0
9	0	6	5,9	5,1	-	0	5,1
Qj	0	5,5	6	2,8	3,5	17,8
Bj	0	2,0	2,0	4,5	2,0

3) Добавить в маршрут одно ребро. Вероятнее всего в граф будет входить ребро, исключение которого максимально увеличит продолжительность выгрузки. Для определения этого ребра необходимо рассчитать штрафы A_i, B_j: в каждом строке найти нулевой элемент и определить ему альтернативу (т.е. минимальный элемент за исключением данного); эта же процедура повторяется и для столбцов.

Определяем значение нижней границы Н=5,5+6+2,8+3,5=17,8. Таким образом, продолжительность выгрузки не может быть меньше 17,8 мин. На дереве поиска рисуем вершину, на которой указываем нижнюю и верхнюю границы.

Определяем дополнительный пробег, вызываемый исключением ребра ij:

Ф_ij= A_i +B_j

Ф16=0+2=2 Ф17=0+2=2 Ф18=0+4,5=4,5 Ф19=0+2=2

Ф61=5,2+0=5,2 Ф71=3+0=3 Ф81=2+0=2 Ф91=5,1+0=5,1

При исключении этого ребра нижняя граница составляет 17,8+5,2=23

Чтобы определить нижнюю границу решения в которое входит ребро 9.8 из матрицы необходимо исключить соответствующие строку и столбец.

	6	7	8	9	Ci
1	-	0	0	0	0
7	6,1	-	4,5	3	3
8	2	2	-	2,5	2
9	6	5,9	5,1	-	5,1

	6	7	8	9	Ci	Ai
1	-	0	0	0	0	0
7	3,1	-	1,5	0	3	1,5
8	0	0	-	0,5	2	0
9	0,9	0,8	0	-	5,1	0,8
Qj	0	0	0	0	10,1
Bj	0,9	0	0	0

Нижняя граница решения составляет 17,8+10,1=27,9

Ф19=0+0=0 Ф17=0+0=0 Ф18=0+0=0

Ф79=1,5+0=1,5 Ф86=0,9+0=0,9 Ф87=0+0=0 Ф98=0,8+0=0,8

	6	7	8	Ci	Ai
1	-	0	0	0	0
8	0	0	-	0	0
9	0,9	-	0	0	0,9
Qj	0	0	0	0
Bj	0,9	0	0

Ф17=0+0=0 Ф18=0+0=0

Ф86=0+0=0 Ф87=0+0=0 Ф98=0+0,9=0,9

	6	7
1	-	0
8	0	-

В результате получено новое решение 1-7-9-8-6-1. Продолжительность выгрузки составляет 27,9 мин.

Далее необходимо рассмотреть только ветвление ВСЕ - т.к. нижние границы остальных ветвлений выше новой верхней границы.

	1	6	7	8	9	Ci
1	-	0	0	0	0	0
6	-	-	5,2	5,5	5,5	5,2
7	0	6,1	-	4,5	3	0
8	0	2	2	-	2,5	0
9	0	6	5,9	5,1	-	0

	1	6	7	8	9	Ci	Ai
1	-	0	0	0	0	0	0
6	-	-	0	0,3	0	5,2	0
7	0	6,1	-	4,5	3	0	3
8	0	2	2	-	2,5	0	2
9	0	6	5,9	5,1	-	0	5,1
Qj	0	0	0	0	0	5,2
Bj	0	2	0	0,3	0

Ф16=0+2=2 Ф17=0+0=0 Ф18=0+0=0 Ф19=0+0=0

Ф67=0+0=0 Ф69=0+0=0 Ф71=3+0=3 Ф91=5,1+0=5,1

	6	7	8	9	Ci
1	0	0	0	-	0
6	-	0	0,3	0	0
7	6,1	-	4,5	3	3
8	2	2	-	2,5	2

	6	7	8	9	Ci
1	0	0	0	-	0
6	-	0	0,3	0	0
7	3,1	-	1,5	0	3
8	0	0	-	0,5	2
Qj	0	0	0	0	5

Новая нижняя граница составляет 23+5=28, что больше верхней границы решения. Таким образом, лучшим порядком выгрузки контейнеров является следующий:

15