3.2 Значення й економіко-математичне формулювання розподільної задачі

До числа найбільш розповсюджених і важливих економіко-математичних задач належить вибір найкращих варіантів використання різних видів взаємозамінних ресурсів для виконання різних видів робіт.

Прикладом є розстановка рухомого складу по напрямках перевезень, якщо кожна одиниця рухомого складу (вагон, автомобіль тощо) протягом усього запланованого періоду виконує одну категорію перевезень. У межах залізничної станції розподільна задача успішно застосована на станції Дніпропетровськ-Вантажний для розстановки під навантаження взаємозамінних типів вагонів. Ця ж задача може використовуватися для розподілу по об'єктах маневрових і промислових локомотивів, вантажно-розвантажувальних машин тощо.

У задачах розподілу взаємозамінних ресурсів (зокрема рухомого складу) звичайно відомі наступні вихідні дані:

1. Обсяги B_j різних робіт j які повинні бути виконані.

2. Наявна кількість ресурсів A_i різних видів ресурсів i.

3. Витрата ресурсів кожного типу i на одиницю робіт кожного виду j – a_ij.

У разі заданих A_i, B_j, a_ij потрібно визначити обсяг робіт кожного виду j, який виконується за допомогою ресурсу i – x_ij і кількість одиниць ресурсу i, яка використовується на роботах виду j – y_ij= a_ij x_ij.

У залежності від господарської обстановки під час розподілу ресурсів можуть ставитися задачі двох видів:

1. Загальна наявність ресурсів недостатня для повного задоволення потреб (наприклад, наявної кількості вагонів недостатньо для вивозу усього вантажу). У цьому випадку максимальне збільшення загального обсягу виконаної роботи є більш важливим, ніж зниження витрат. Тому у таких задачах критерієм оптимальності є максимальний обсяг виконаної роботи.

2. Загальна наявність ресурсів достатня для покриття всіх потреб. Критерієм оптимальності в цьому випадку стає зведення до мінімуму загальної суми витрат на виконання заданого обсягу роботи.

Для залізничної станції типовою задачею такого роду є розподіл вагонів різних видів під навантаження різних категорій вантажів. Якщо порожніми пробігами вагонів до місць навантаження можна зневажити, то критерієм раціонального розподілу вагонів є досягнення максимуму середнього статичного навантаження.

Математична постановка даної задачі має наступний вигляд. Нехай відомо майбутнє відправлення різних вантажів у тоннах B_j і наявність порожніх вагонів різних видів A_i, а також технічні норми завантаження p_ij. У разі неможливості відправлення вантажу в даному виді вагона p_ij=0.

Потрібно знайти розподіл вагонів кожного виду під різні вантажі, який дає максимум загального статичного навантаження (мінімум зайнятих вагонів). Таким чином, система обмежень має вигляд:

1		- весь вантаж повинен бути вивезений;
2		- кількість зайнятих вагонів кожного виду не повинна перевищувати їх наявної кількості;
3		- кількість зайнятих вагонів повинна бути мінімальною.

3.3 Розв’язання задачі розподілу вагонів під навантаження методом множників, що дозволяють

Попередньо необхідно звести вихідні дані в таблицю (див. табл. 3.1). У цій таблиці рядки відповідають типам вагонів, стовпці – вантажам; останні три стовпці відведені для суми вагонів кожного виду, які використовуються під завантаження, величини надлишків і недостач, а також міток. У кутах клітин записані дійсні технічні норми завантаження p_ij.

Таблиця 3.1

	Вантаж 1 600 (Bj)	Вантаж 2 128	Вантаж 3 500	Вантаж 4 100	Зайнято вагонів	Ri Надлишок (+) Недостача (-)	Мітка
Вагони 1 типу 30 штук (Ai)	27 (pij)	13	15	7
Вагони 2 типу 35 штук	30	16	17	8
Вагони 3 типу 25 штук	30	21	22	10
j