Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет физической культуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Научные стремления 2011-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

16.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 5960 / 9560 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 > Следующая >>>

			Сценарий "Налог 20"
,МВт	12000
,МВт
мощностей	10000
						ВЭУ
	8000					ТЭЦ на МВТ
						Парогазовый блок ТЭЦ
генерирующих						Парогазовый блок ТЭЦ
	6000					Реконструкция ТЭЦ
	6000					Блок-станции
						Блок-станции
						ГЭС
	4000					ТЭЦ
						ГРЭС
Структура						ГРЭС
	2000
	0
	0
	2005	2010 2015	2020 2025	2030 2035	2040	2045
Рисунок 2 - Структура генерирующих мощностей в сценарии «Налог 20»

При введении налога на углеводородное топливо в размере 50 долл. США (сценарий «Налог 50») в структуре генерирующих мощностей наблюдаются заметные отличия (рис. 3). Главной характерной чертой для этого сценария является то, что основную долю генерирующих мощностей к 2050 году (5 блоков по 1170 МВт) составляют АЭС. Причем первый блок вводится в 2018 году, а второй только к 2030 году. В этом случае выбросы CO2 от сектора энергетики среди рассмотренных сценариев будут наименьшими (26 млн. тонн).

					Сценарий "Налог 50"
,МВт	12000
,МВт
мощностей	10000
									ВЭУ
	8000								ТЭЦ на МВТ
	8000								Парогазовый блок ТЭЦ
									Парогазовый блок ТЭЦ
генерирующих									Реконструкция ТЭЦ
	6000								Блок-станции
									ГЭС
	4000								АЭС
	4000								ТЭЦ
									ТЭЦ

Структура									ГРЭС
	2000
	0
	0
	2005	2010	2015	2020	2025	2030	2035	2040	2045
Рисунок 3 - Структура генерирующих мощностей в сценарии «Налог 50»

Заключение. Таким образом, рассмотрена перспективная структура генерирующих мощностей в долгосрочном периоде с учетом экологических факторов. Расчеты для Белорусской энергосистемы показывают, что при

591

значении «углеродного налога» в размере 20 долл. США за тонну CO2- эквивалента строительство угольных станций уже не является оптимальным, однако еще не делает оптимальным вариантом атомную энергетику. Атомная энергетика в данной модели становится конкурентоспособной при значении «углеродного налога» в 50 долл. США за тонну CO2-эквивалента. Также рассмотренные сценарии демонстрируют потенциал сокращения эмиссии углекислого газа в атмосферу сектором энергетической промышленности. Так, в зависимости от выбранной энергетической стратегии, к 2050 году можно достичь сокращения годового выброса CO2 в размере 16 млн. тонн.

Литературные источники

1.Национальный доклад о кадастре антропогенных выбросов из источников и абсорбции поглотителями парниковых газов, не регулируемых Монреальским протоколом за

1990–2009 гг. // United Nation Framework Convention on Climate Change [Electronic resource] / Mode of access: http://unfccc.int/national_reports/annex_i_ghg_inventories/national_inventories_submissions /items/5270.php. — Date of access: 04.03.2011.

2.MESSAGE: Model for Energy Supply Strategy Alternatives and Their General Environmental Impacts / User Manual. – Vienna, 2004. – 244 p.

S.N. Nikitsin, V.A. Tkachou

SCENARIOS OF DEVELOPMENT OF THE BELORUSSIAN POWER SUPPLY SYSTEM IN CONTEXT OF REDUCTION OF EMISSIONS OF GREENHOUSE GASES

Institute of Power Engineering of National Academy of Sciences of Belarus, Minsk

Summary

Scenarios of development of generating capacities of the Belorussian energy system are considered in the long-term period for different values of the tax to hydrocarbonic fuel. Carbonic gas emission in power industry sector for these scenarios have been estimated.

592

УДК 539.12

Е.М. Овсиюк, О.В. Веко

ЧАСТИЦА СО СПИНОМ 1 В МАГНИТНОМ ПОЛЕ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ H2

Мозырский государственный педагогический университет имени И.П. Шамякина, Мозырь

1.Постановка задачи. Задача о квантовании уровней энергии частицы

воднородном магнитном поле относится к числу классических в квантовой механике. В [1] были построены решения для уравнения Даффина–Кеммера для векторной частицы в плоском пространстве. В настоящей работе будут построены точные решения уравнения Даффина–Кеммера частицы со спином 1 во внешнем магнитном поле в 2-мерном пространстве Лобачевского. Волновое уравнение Даффина–Кеммера для векторной частицы в римановом пространстве–времени имеет вид [2]

(1.1)

i ( e(c)

abc

)

A(c)

где abc – коэффициенты вращения Риччи, A(c) e(c) A – тетрадные

компоненты

4-вектора A ; J ab ( a b b a ) – генераторы 10-мерного представления группы Лоренца. Дальше используем сокращения e c e mc M . Представление постоянного магнитного поля в плоском пространстве можно обобщить на случай пространства Лобачевского H3 [3]:

A B (cosh r 1)			(1.2)
Будем рассматривать уравнения	Даффина–Кеммера в		магнитном
поле (1.2) на гиперболической плоскости	H2	в цилиндрических координатах
x (t r ) и соответствующей тетраде
dS 2 dt 2 (dr 2 sinh2r d 2 )		r [0 ) [0 2 ]

i 0

i 1t

						1	0	0
		e		(x)		0	1	0
			(a)
						0	0	sinh 1 r
	2		i		eB (cosh r 1) iJ 12 cosh r
									M	0
r							sinh r		M	0
r							sinh r

(1.3)

(1.4)

2.Разделение переменных. Для проведения разделения переменных

вволновом уравнении используем циклический базис, в котором генератор J 12 диагонален. С использованием подстановки для волновой функции

0 (r)

e i t eim	(r)	(2.1)
e i t eim	E(r)	(2.1)
	E(r)
	H (r)

уравнение (1.4) принимает вид (вводим обозначение m B(cosh r 1) (r) )

593

Нединамическими их, получаем шесть

(3.1a)

(3.1b)

(3.1c)

(2.2)

0 i 1

				0 (r)
				0 (r)
	2 (r) cosh r S3			(r)
			M		0
r		sinh r	M	E(r)	0
r		sinh r		E(r)
				H (r)

После разделения переменных с учетом обозначений

1 (

(			cosh r		) a

	r		sinh r
		cosh r		) b
r
			sinh r


	1		(			cosh r		) a
				r
2
2							sinh r
1		(					cosh r		) b
					r
2
2							sinh r


1	(					) a
	(	r				) a
2		r		sinh r
1		(					) b
			r		sinh r
2
2

приходим к системе радиальных уравнений


b E1 a E3 M 0		ib H1 ia H3 i E2 M 2
iaH2 i E1	M 1	ibH2 i E3 M 3		(2.3)
a 0 i 1 M E1	i 2 M E2		b 0 i 3 M E3
ia 2 M H1	ib 1 ia 3 M H2		ib 2 M H3	(2.4)

3. Переход к нерелятивистскому пределу.

переменными являются функции 0 H1 H2 H3 . Исключая уравнений

ia (ib 1 ia 3 ) i ME1 M 2 1 a ( b E1 a E3 ) i M 1 M 2 E1

i b ( i a 2 ) ia? (i b 2 ) i ME2 M 2 2

i M 2 M 2 E2

i b (ib 1 ia 3 ) i ME3 M 2 3

b ( b E1 a E3 ) i M 3 M 2 E3.

Вводим разбиение на большие и малые компоненты согласно

1 B1 M1	2 B2 M 2	3 B3 M3
iE1 B1 M1	iE2 B2 M 2	iE3 B3 M3

одновременно выделяем энергию покоя формальной заменой M ; складывая уравнения для каждой из трех пар и пренебрегая малыми компонентами M k на фоне больших Bk , получаем искомую систему уравнений

в приближении Паули:

2 ab 2 M B1 0 (b a a b) 2 M B2 0 2ba 2 M B3 0

Учитывая явный вид операторов, приводим уравнения к виду

d 2

cosh r d

1 2[m B (cosh r 1)]cosh r

sinh r dr

sinh

[m B (cosh r 1)]2

2 M B1 0

sinh

d 2

cosh r d

[m B (cosh r 1)]2

2 M B2

sinh r dr

sinh

d 2

cosh r d

1 2[m B (cosh r 1)]cosh r

sinh r dr

sinh

594

(3.2a)

(3.2b)

								[m B (cosh r 1)]2
																	2	M B3 0												(3.2c)
											sinh	2	r				2	M B3 0												(3.2c)
											sinh		r
Полученные уравнения решаются по одной и той же схеме. Остановимся
подробно на	решении							уравнения (3 2a) .										Перейдем к												новой переменной
1 cosh r 2 y ; с использованием подстановки																		B1 yC1				(1 y)A1 f1								получим
									d 2 B																dB
		y (1 y)								1	[2 C 1 (2 A							2 C			2) y]						1
		y (1 y)							dy2		[2 C 1 (2 A							2 C			2) y]
									dy2				1				1	1								dy
							B2 B 2 M ( A C ) ( A C 1)
															1		1	1			1
															1		1	1			1
				1 4 A2					(2 B m 1)2							1 4C2		(m 1)2									0			(3.3)
							1										1						B1				0			(3.3)
							1										1
				4					1 y						4			y
При A1 C1	выбранных согласно
						A1				1	2B m 1						C1		1	m 1										(3.4)
										1									1

		(3 3)								2								2
уравнение		(3 3)					является						уравнением								гипергеометрического типа
с параметрами

A C					1			B2 B 2 M						1				A C										1	B2 B 2 M		1
A C								B2 B 2 M										A C											B2 B 2 M
1	1	1		2									4					1			1			1			2			4
				2									4														2			4
			1		2 C 1						B yC1				(1 y)A1 F (											1	y)			(3.5)
			1				1				1							1				1				1

Условие обрыва ряда до полинома имеет вид: 1 n , откуда

																																		2B m 1										m 1
								B2 B 2 M											1		n								1																															(3.6)


																		4											2										2
Находим решение уравнения (3 2b) :
	B yC 2 (1 y)A2 F (																2	y) A												1			2B m					C																2	2C 1
																																																m



		2											2		2								2						2										2						2												2
																													2																2

				A C						1				B2 2 M									1									A				C					1						B2				2 M							1		(3.7)
			2	A C										B2 2 M															2			A				C											B2				2 M									(3.7)
			2		2		2		2														4						2		2					2			2																		4
									2														4																2																		4
правило квантования имеет вид 2 n , откуда следует
																																											m
											B2 2 M									1		n									1				2B m																									(3.8)
																																			2B m

																		4													2								2
Аналогичные схемы могут быть построены для случаев (3 2a)																																										(3 2c) .
Находим решение уравнения (3 2c) :
B yC 3 (1 y)A3 F (													3			y) A									1		2B m 1										C									1			m 1							3	2 C 1
																									1																					1

3									3						3			3					2																3						2												3
																							2																						2

		A C					1		B2				B 2 M											1							A C									1		B2								B 2 M									1
	3	A C							B2				B 2 M															3			A C											B2								B 2 M
	3			3		3	2																4					3			3					3			2																		4
							2																4																2																		4
правило квантования имеет вид
																																							2B m 1														m 1
				3	n							B2			B 2 M											1		n								1			2B m 1														m 1							(3.9)

																																				2									2
																							4													2									2
Можно					показать,										что				решаются																	в			явном													виде						и уравнения
в релятивистском случае (детали анализа опускаем).
																							595

Авторы признательны В.М. Редькову и В.В. Киселю за интерес к работе и полезные советы.

Литературные источники

1.Кисель, В.В. О решениях уравнения Даффина – Кеммера для частицы со спином 1 в однородном магнитном поле / В.В. Кисель, Е.М. Овсиюк, В.М. Редьков // ДАН Беларуси. – 2010. – Т. 54, № 4. – С. 64–71.

2.Редьков, В.М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца / В.М. Редьков. – Минск: Белорусская наука, 2009. – 495 с.

3.Bogush, A.A. Schrödinger particle in magnetic and electric ﬁelds in Lobachevsky and Riemann spaces / A.A. Bogush, V.M. Red‘kov, G.G. Krylov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2008. – Vol. 11, №4. – P. 403–421.

E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko

PARTICLE WITH SPIN 1 IN A MAGNETIC FIELD ON THE HYPERBOLIC PLANE H2

Mozyr State Pedagogical University named after I.P. Shamyakin

Summary

There are constructed exact solutions of the quantum-mechanical equation for a spin S 1 particle in 2-dimensional Riemannian space of constant negative curvature, hyperbolic Lobachevsky plane, in presence of an external magnetic field, analogue of the homogeneous magnetic field in the Minkowski space. A generalized formula for energy levels describing quantization of the motion of the vector particle in magnetic field on the 2-dimensional space H2

has been found, nonrelativistic and relativistic equations have been solved.

596

PACS number: 02.30.Gp, 02.40.Ky, 03.65Ge, 04.62.+v

E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko

DIRAC PARTICLE IN PRESENCE OF MAGNETIC FIELD

ON THE POINCARÉ HALF-PLANE H2

Mozyr State Pedagogical University named after I.P. Shamyakin

The quantization of a quantum-mechanical particle in the homogeneous magnetic field belongs to classical problems in physics [1-4]. In 1985–2010, a more general problem in a curved Riemannian background, hyperbolic and spherical planes, was extensively studied [5, 6], In [7] exact solutions for a scalar particle in

extended problem,	particle in external magnetic field on the background
of Lobachevsky H3	and Riemann S3 spatial geometries were found. In the present

paper we additionally relate 2-dimensional and 3-dimensional problems, considering 2-dimensional problem for Dirac particle.

We make use of results of the paper by [8], in which for the hyperbolic plane the following coordinate system is defined

u sinh

2e 1

cosh

2e 1

e 1

u2 u2 u2

dl2 d 2

e 2 1

d 2

(1)

By changing of the variables, the metrics (1) is reduced to the form

e 1

dl2

dx2

dy2

(2)

Relations of (x y)

to ui

are given by

y2 1 x2

1 x2

(3)

2 y

Because cylindrical coordinates are determined by

u1 sinh r cos

u2 sinh r sin

u0 cosh r

we easily obtain connection between (x y) and (r ) :

y2 1 x2

sinh r cos

sinh r sin

2 y

1 x2

cosh r

tan

(4)

2 y

2 y2

Transforming the electromagnetic potential of a generalized magnetic field

A B (cosh r 1)

to coordinates (x y) we get

A B

x2 1 1

A B

(5)

x2 ( y 1)2

( y

1)2

Evidently, this tensor can be obtained from more simple potentials

Fxy

y Ax

(6)

There exists a gauge transformation

597

Ay 0 const 2B arctan

y 1

(7)

Let us specify some details in parameterization of the plane

H2 by (x y) . First

we conclude

that

y 0

Besides,

(x 0 y 1) u0 1

u1 0

u2 0 .

In addition,

x2 y2 1

(8)

x2 y2 1

which can be illustrated by Fig. 1 ( we note signs of q1 q2 ).

Figure 1 - (q1 q2 -plane in x y) -description

In particular, the boundary {x 0 y} determines the line

(q1 1 q2 0) y 0	(q1 1 q2 0) y	(9)
Let us turn to the Dirac equation in 2-dimensional space H3 . General form of
the Dirac equation (in any orthogonal coordinates) is
k [ i ( e(k ) Bk	) e e(k ) A ] M 0	(10)

Let us specify eq. (10) in coordinates (x y) of plane in present of the above magnetic field

							1	0	0	0
2	2	dx2	dy2		B		0	y 0		0	(11)
2	2
dS dt			y2	Ax y		e(b)	0	0	y	0
dS dt			y2	Ax y		e(b)	0	0	y	0
							0	0	0	0

we find explicit for of the Dirac equation

( iy

eB) i 2 ( y

1 2) M

Variables are separated by the use of substitution

f1 ( y)

f1( y)

e i t eipx

( y)

1( py eB) i 2 ( y y

2) M

( y)

f4 ( y)

equations for fa are

f3 ( p y eB) f4 ( y y 1 2) f4 M f1 0

598

f4 ( p y eB) f3 ( y y 1 2) f3 M f2 0f1 ( p y eB) f2 ( y y 1 2) f2 M f3 0

f2 ( p y eB) f1 ( y y

1 2) f1

f4 0

(12)

With linear restrictions

f3 Kf1

f4 Kf2

K K1 2

2 M 2

(13)

we arrive to more simple two systems (let it be

2 M 2

MK 2

M 2

( y

p y eB) f

( y

p y eB) f

0 (14)

MK 2

M 2

( y

p y eB) f

( y

p y eB) f

0 (15)

For definiteness let us consider the case (14); in particular, for

f1 we have

second order equation

p p2 y 2 p e B

1 4 e

f1 0

(16)

In the variable z 2 p y (note substantial dependence on the sign of

p ; firstly

we will consider the case of positive

p ; for shortness we will note

eB as

B ; let B 0

) and with a substitution f (z) z A eCz F (z) , the above equation reduces to

dF1

A( A 1) B

1 4

(2A 2Cz)

(C2

)z 2AC B

F1 0

We must assume A 1 2

B2 2 0 C 1 2 , the equation becomes simpler

and is the confluent hypergeometric equation with parameters

A B

(17)

The quantization rule is

so we get finite number of bound states

B2 2 n B

(18)

For instance let

B 2 3 , there there exists one bound state with

n 0 .

Let us consider the case of negative

p . In the variable z 2 p y

z 0 and

with a substitution

f (z) z A eCz F (z) , the above equation (16) reduces to

dF1

A( A 1) B

1 4

(2A 2Cz)

(C2

) z 2AC B

At A C taken as

2 0 C 1 2 the above equation becomes simpler

599

d 2 F

(2 A z)

( A B

) F 0,

dz2

which is a confluent hypergeometric equation with parameters

A B

(19)

Thus, the quantization rule is

n B 1

(20)

The choice of upper sign is not allowed. In the case of lower sign we have

			1			1
0	B2 2	B n 1		A 0	B2 2		(21)
			2			2

which is not possible. Thus, at				p 0 no bound states exist.

References

1.Rabi, I.I. Das freie Electron in Homogenen Magnetfeld nach der Diraschen Theorie / I.I. Rabi // Z. Phys. – 1928. – Vol. 49. – P. 507–511.

2.Landau, L. Diamagnetismus der Metalle / L. Landau // Ztshr. Phys. – 1930. – Vol. 64. – P. 629–637.

3.Plesset, M.S. Relativistic wave mechanics of the electron deflected by magnetic field / M.S. Plesset // Phys. Rev. – 1931. – Vol. 12. – P. 1728–1731.

4.Landau, L.D. Quantum mechanics / L.D. Landau, E.M. Lifshitz. – London: Pergamon, 1958. – 515 p.

5.Comtet, A. Effective action on the hyperbolic plane in a constant external field / A.

Comtet, P.J. Houston // J. Math. Phys. – 1985. – Vol. 26, № 1. –

P.185–191.

6.Comtet, A. On the Landau levels on the hyperbolic plane / A. Comtet // Annals of Physics. – 1987. – Vol. 173. – P. 185–209.

7.Bogush, A.A. Schrödinger particle in magnetic and electric fields in Lobachevsky and Riemann spaces / A.A. Bogush, V.M. Red‘kov, G.G. Krylov // NPCS. – 2008. – Vol. 11, № 4. – P. 403–416.

8.Olevsky, M.N. Three-orthogonal coordinate systems in spaces of constant curvature, in

which equation 2U U 0 permits the full separation of variables / M.N. Olevsky // Mathematical collection. – 1950. – Vol. 27. – P. 379–426.

E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko

DIRAC PARTICLE IN PRESENCE OF MAGNETIC FIELD

ON THE POINCARÉ HALF-PLANE H2

Mozyr State Pedagogical University named after I.P. Shamyakin

Summary

There are constructed exact solutions of the quantum-mechanical Dirac equation for a spin S=1/2 particle in the Poincaré half-plane H3 , 2-dimensional Lobachevsky space of constant

negative curvature, in presence of an external magnetic field, analogue of the homogeneous magnetic field in the Minkowski space. A generalized formula for energy levels, describing quantization of the transversal motion of the particle in magnetic field has been obtained.

600

<<< < Предыдущая 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 5960 / 9560 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025173.06 Кб19модуль обезболивание.doc
#
01.07.2025206.85 Кб2мотив.профиль.doc
#
19.09.201993.18 Кб81Моя пояснительная записка.doc
#
20.08.2019178.69 Кб102Мы постараемся развеять все ваши страхи и подде...doc
#
21.02.2016937.47 Кб131мышление и профессия.doc
#
21.02.201616.67 Mб58Научные стремления 2011-1.pdf
#
21.02.201613.98 Mб104Научные стремления 2011-2.pdf
#
21.02.20169.94 Mб62Научные стремления 2012-1.pdf
#
21.02.20166.9 Mб58Научные стремления-2010.pdf
#
24.09.201998.3 Кб28Неотложные при инф бол.doc
#
21.02.20164.92 Mб50Нижневартовск_26.03.2014.pdf