- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
Аксень Э.М. Современные методы финансового анализа
6. Моделирование процентного риска
6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
Поскольку портфель облигаций выплачивает последовательность платежей, продолжительность портфеля облигаций находится по формуле (12) главы 2, т.е.
, (1)
где wk – доля текущей стоимости k-го платежа портфеля в текущей стоимости портфеля, – срок выплатыk-го платежа портфеля, n – количество платежей портфеля.
Докажем, что для продолжительности портфеля облигаций справедлива формула:
, (2)
где wi – доля текущей стоимости облигаций i-го вида в текущей стоимости портфеля, – продолжительность облигацииi-го вида, m – количество видов облигаций в портфеле.
Введем следующие обозначения.
–количество облигаций i-го вида в портфеле, – текущая стоимостьk-го платежа облигации i-го вида, – текущая стоимость облигацииi-го вида, – текущая стоимостьk-го платежа портфеля, – текущая стоимость портфеля,– доля текущей стоимостиk-го платежа облигации i-го вида в текущей стоимости облигации i-го вида.
Очевидно, что имеют место следующие формулы:
, ,,(3)
, ,,. (4)
С учетом формул (3)-(4), имеем
Таким образом, мы доказали формулу (2).
Пример 1. Портфель облигаций состоит из 40 облигаций первого вида и из 50 облигаций второго вида. Для облигации первого вида: номинальная стоимость – 100 д.е., годовая номинальная купонная ставка – 15%, купонный период – 1 год, до погашения облигации осталось 3 года, годовая эффективная доходность к погашению – 16%. Для облигации второго вида: номинальная стоимость – 120 д.е., годовая номинальная купонная ставка – 20%, купонный период – полугодие, до погашения облигации осталось 5 лет, годовая эффективная доходность к погашению – 18,81%.
Требуется определить продолжительность портфеля облигаций, используя в качестве ставки дисконтирования доходности самих облигаций.
Решение. Итак, д.е.,,,,,,д.е.,,,лет,,.
Для нахождения продолжительности портфеля облигаций будем использовать формулу (2).
Найдем продолжительность облигаций первого и второго вида с помощью формулы (12) главы 4: .
Поскольку для облигаций первого вида купонный период – год, то для облигаций первого вида купонная ставка и эффективная доходность для купонного периода совпадают с годовой номинальной купонной ставкой и годовой эффективной доходностью. Следовательно,
лет.
Для облигаций второго вида купонная ставка для купонного периода равна , эффективная доходность для купонного периода равна. Следовательно,
.
Найдем доли рыночных стоимостей облигаций первого и второго вида в рыночной стоимости портфеля. Для этого вначале найдем цены облигаций по формуле (6) главы 4: .
, .
Теперь мы можем найти продолжительность портфеля облигаций по формуле (2):
Выпуклость портфеля облигаций определяется по формуле (18) главы 2, т.е.
. (5)
Для выпуклости портфеля облигаций справедлива формула:
, (6)
где - выпуклость облигацииi-го вида.
Формула (5) доказывается так же само как формула (2).
6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
Предположим, что ставка дисконтирования зависит только от вида облигации. Тогда для облигаций, входящих в портфель справедлива формула (13) главы 2: . Таким образом,
, . (7)
Из (7) следует, что
, . (8)
Легко заметить, что
. (9)
Подставим (8) в (9):
. (10)
Предположим, что не зависит от вида облигации. Тогда из (10) следует, что
. (11)
Разделив (11) на , получим:
. (12)
Итак, в случае, когда не зависит от вида облигации, для текущей стоимости портфеля облигаций имеет место формула (12).
Замечание. Если в качестве ставок дисконтирования ,, выступают доходности самих облигаций, то текущие стоимости облигаций,, равны ценам облигаций, а текущая стоимость портфеля облигацийравна рыночной стоимости портфеля облигаций.
Пример 2. Пусть в условиях примера 1 . Тогда
.
Несложно показать, что в случае, когда не зависит от вида облигации, для текущей стоимости портфеля облигаций имеет место формула:
. (13)
Формула (13) дает более точную оценку для относительного изменения текущей стоимости портфеля облигаций, чем формула (12) (поскольку формула (13) учитывает выпуклость портфеля облигаций). Доказательство формулы (13) аналогично доказательству формулы (12)