5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации

Напомним, что чистая доходность – это доходность бескупонной облигации.

Напомним, что доходность бескупонной облигации, цена которой в текущий момент времени равнаP, номинал F которой выплачивается в момент времени t, находится из уравнения

, (27)

т.е. . (28)

При этом, величина, равная , – «чистый» коэффициент дисконтирования (который мы будем обозначать).

Заметим, что

, (29)

, (30)

Отметим также, что чистая доходность легко находится с помощью коэффициента дисконтирования:

. (31)

Замечание. В дальнейшем будем использовать коэффициенты дисконтирования, а не чистые доходности.

В случае отсутствия бескупонных облигаций на финансовом рынке,, чистые доходности понимаются как доходности синтетических бескупонных облигаций. Несложно заметить, что условие 1 является критерием существования синтетических бескупонных облигаций с "моментами погашения" , а условие 2 является критерием единственности оценок рыночных стоимостей таких облигаций. В дальнейшем будем предполагать выполнение этих условий.

Обозначим через синтетическую бескупонную облигацию с "моментом погашения"(), а через– количество облигаций видав портфеле. В соответствии с вышеизложенным, количества,, определяются из системыn уравнений

. (32)

где F– номинал облигации.

Отметим, что, в силу условия 1, системы уравнений (32) разрешимы относительно ,. Однако,, определяются, вообще говоря, неоднозначно.

Обозначим

. (33)

Тогда система уравнений (32) запишется в виде

, (34)

где через обозначен вектор платежей синтетической бескупонной облигациис "моментом погашения". (k-я компонента вектора равна номиналуF облигации, а остальные компоненты равны нулю.)

Обозначим

. (35)

Тогда уравнения (34) можно записать еще компактнее:

, (36)

где I – единичная матрица.

Обозначим через цену синтетической бескупонной облигации(). В соответствии с вышеизложенным, она определяется по формуле

. (37)

Из условия 2 следует однозначность .

Обозначив

, , (38)

формулы (37) (), можно записать в матричном виде:

, или, . (39)

Обозначим через коэффициент дисконтирования синтетической бескупонной облигации. В соответствии с вышеизложенным, коэффициентопределяется из уравнения, т.е..

Замечание. В силу условий 1 и 2, цены синтетических бескупонных облигаций, а следовательно коэффициенты дисконтированияи чистые доходности, существуют и определяются однозначно.

Обозначив через векторкоэффициентов дисконтирования, уравненияможно записать в векторном виде

, (40)

а формулы в виде

. (41)

На практике коэффициенты дисконтирования находятся с помощью системы уравнений

. (42)

С помощью введенных ранее обозначений систему (42) запишем в виде

. (43)

Замечание. Очевидно, что условие 2 эквивалентно разрешимости уравнения (43), а условие 1 – единственности решения этого уравнения.

Таким образом, при выполнении условий 1 и 2 система уравнений (42) однозначно разрешима относительно коэффициентов ,. Покажем, что (при выполнении условий 1 и 2) коэффициенты,, найденные из системы (42), совпадают с коэффициентами, определенными по формуле (41).

Пусть вектор(единственное) решение уравнения (43). Умножим равенство (43) слева на матрицу:. Поменяем порядок умножения в левой части этого равенства:. Подставим вместо выражения, стоящего в скобках в левой части равенства, правую часть равенства (36). В результате получим:. Заметим, что правая часть этого равенства (в силу формулы (39)) равна вектору. Следовательно,, и, что и требовалось доказать.

Покажем, что коэффициенты дисконтирования ,, удобно использовать для оценки рыночной стоимости облигаций. А именно, покажем, что суммадисконтированных платежей облигациисовпадает с ценойимитирующего портфеля. (Напомним, что, где

–количества облигаций вида в имитирующем портфеле, которые находятся из уравнения (26).)

Умножим первое из равенств (26) справа на вектор :. Поменяем порядок умножения в левой части:. Поскольку (в силу равенства (43)), последнее соотношение примет вид:, что и требовалось доказать.