8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива

Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива заключается в нахождении портфеля , такого, что луч– самый верхний луч множества инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и портфелей.

С помощью портфеля можно построить комбинацию, соответствующую любой точке луча.

Заметим, что луч имеет самый большой угол наклона, а следовательно и, среди всевозможных лучей,.

Вспомним, что равен параметру(который определяется формулой). Следовательно, задача нахождения оптимального портфелясводится к максимизации параметра.

Математически задача максимизации параметра записывается следующим образом:

, (60)

, (61)

(62)

В этой оптимизационной задаче в качестве переменных выступают доли ,, финансовых активов в портфеле. В качестве целевой функции выступает параметр, который в конечном счете зависит от долей,, (посколькуи).

8.7. Рыночная модель

Заметим, что при решении задач оптимизации портфеля (44)-(47), (48)-(51), (60)-(62) используются ожидаемые доходности финансовых активов, дисперсиии ковариации. При достаточно большом числевидов финансовых активов, общее количество этих параметров становится очень большим (ожидаемых доходностей,дисперсий иковариаций). При этом основную роль в увеличении количества этих параметров при возрастании числавидов финансовых активов играет количествоковариаций. (Например, при.) Следовательно, решения задач оптимизации портфеля становятся очень громоздкими и трудоемкими при больших количествах видов финансовых активов.

Рыночная модель, рассматриваемая в данном параграфе, позволяет существенно уменьшить количество параметров, используемых при решении задач оптимизации портфеля.

Для того, чтобы описать рыночную модель, нам потребуется понятие рыночного портфеля.

Рыночный портфель – это портфель, в котором присутствуют финансовые активы всех видов, имеющихся в экономике, и в котором доли финансовых активов (в денежном выражении) равны долям финансовых активов в экономике в целом.

Будем обозначать рыночный портфель буквой , доходность рыночного портфеля – через, и стандартное отклонение доходности рыночного портфеля – через.

В соответствии с формулой (17), доходность рыночного портфеля определяется следующим образом:

, (63)

где количество всех видов финансовых активов в экономике,– доля финансового активаi-го вида в экономике в целом.

Замечание 10. На практике рыночный портфель часто заменяют индексным портфелем, содержащим достаточно большое количество финансовых активов, и под рыночной доходностью понимают доходность соответствующего индексного портфеля (например, доходность индекса ).

Рыночная модель имеет следующий вид:

, (64)

где и– константы, зависящие от вида финансового актива,– случайная величина, также зависящая от вида финансового актива.

Основные предположения рыночной модели – следующие:

1) ;

2) ;

3) .

Замечание 11. Первые два предположения рыночной модели – это стандартные предположения линейной регрессии.

Предположения рыночной модели интерпретируются следующим образом. Доходность финансового актива зависит от рыночной доходности (причем ожидаемая доходность финансового актива однозначно определяется ожидаемой рыночной доходностью по формуле: ). Однако, есть факторы, влияющие на доходность финансового актива, которые зависят только от специфики данного финансового актива, причем эти факторы для разных финансовых активов – независимы. Эти факторы описываются случайным отклонением.

Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации между доходностями финансовых активов видови() справедлива формула:

. (65)

Ковариация по определению равна. Из равенства (64) и условия (1) рыночной модели вытекает, чтои. Следовательно,

(66)

Здесь обозначение обозначает дисперсию соответствующей случайной величины. В силу условий (2) и (3) рыночной модели последние три слагаемые правой части равенства (66) равны нулю. Следовательно, равенство (66) сводится к равенству (65).

Формула (67) позволяет значительно уменьшить количество параметров в задачах оптимизации портфеля: вместо ковариацийиспользуетсякоэффициентов.

Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации доходностей финансового актива и рыночного портфеля справедлива формула:

. (67)

Действительно, из равенства (64) и свойств (1) и (2) рыночной модели следует, что

Из соотношения (67) вытекает, что

. (68)

Замечание 12. С помощью формулы (64) можно определить коэффициент финансового актива также в тех случаях, когда условия рыночной модели не выполняются.