8. Теория инвестиционного портфеля

8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики

Инвестиционный портфель – это портфель финансовых активов (акций, облигаций, банковских депозитов и т.д.).

Под доходностью финансового актива (инвестиционного портфеля) в течение некоторого периода временибудем понимать

. (1)

Здесь и– рыночные цены финансового актива, соответственно, в начальныйи конечныймоменты времени,– суммарный платеж, выплачиваемый финансовым активом в течение промежутка времени.

Замечание 1. Если финансовый актив – акция, то – суммарный дивиденд, выплачиваемый акцией в течение промежутка времени. Если финансовый актив – облигация, то– суммарный купонный платеж, выплачиваемый облигацией в течение промежутка времени.

Пример 1. Пусть цена акции в начале квартала была равна 86 д.е., а в конце квартала составила 87 д.е. В течение квартала акция выплатила дивиденд, равный 3 д.е. Требуется найти доходность акции за квартал.

Решение. Итак, д.е.,д.е.,д.е. Найдем доходность акции

Найдем доходность акции по формуле (1).

.

Замечание 2. Из формулы (1) следует, что доходность удовлетворяет следующему уравнению:

. (2)

Следовательно, доходность финансового актива равна внутренней доходности инвестиционного проекта, который состоит в:

• покупке финансового актива по цене в момент времени,

• получении платежа и продаже актива по ценев момент времени.

Замечание 3. Из формулы (2) следует, что

. (3)

Следовательно, доходность финансового актива равна банковской эффективной процентной ставке, такой, при которой начальный капитал, равныйв момент времениобеспечивает наращенную сумму, равную, в момент времени.

В большинстве случаев в начальный момент времени цена финансового актива(в конечный момент времени) неизвестна. (Часто то же самое можно сказать и о платеже.) Следовательно, в таких случаях, доходность финансового активаза промежуток временинеизвестна в начальный момент времени.

Считается, что и, а, следовательно, и– случайные величины в теоретико-вероятностном смысле.

В теории инвестиционного портфеля основными характеристиками финансового актива (инвестиционного портфеля) являются ожидаемая доходность и стандартное отклонениедоходности финансового актива:

, (4)

. (5)

Дадим обоснование того, что можно использовать в качестве меры финансового риска.

Естественно считать, что финансовый риск описывается вероятностью , где– некоторое положительное число. В случае, когда доходностьподчиняется нормальному закону распределения, легко показать, что вероятностьувеличивается при увеличении. (См. параграф 9 главы 3.) То же самое справедливо и для широкого класса других распределений доходности финансового актива.

Следовательно, чем больше значение , тем больше риска у доходности финансового актива (инвестиционного портфеля).

Замечание 4. На практике, вместо теоретических значений ожидаемой доходности и стандартного отклоненияфинансового актива используют соответствующие выборочные характеристики:

, (6)

. (7)

Здесь – количество наблюдений,,, доходность финансового актива в периоде(в прошлом).

Пример 2. Известны годовые доходности финансового актива за 4 года.

Годы	1	2	3	4
Годовые доходности	10%	14%	9%	7%

Требуется найти выборочные ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности финансового актива.

Решение. Итак, ,,,,.

Найдем выборочные ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности финансового актива по формулам (6) и (7).

,

Найдем формулу для определения доходности инвестиционного портфеля с помощью доходностей входящих в него финансовых активов.

Введем следующие обозначения:

–количество видов финансовых активов, входящих в портфель;

–количество финансовых активов i-го вида в портфеле ();

–рыночная цена финансового актива i-го вида в начальный момент времени ;

–рыночная цена финансового актива i-го вида в конечный момент времени ;

–суммарный платеж, выплачиваемый финансовым активом i-го вида в течение промежутка времени .

В соответствии с формулой (1) доходность финансового актива i-го вида определяется следующим образом:

, (8)

и для нее справедлива формула:

. (9)

Очевидно, что рыночная стоимость портфеля в начальный момент времени, рыночная стоимость портфеляв конечный момент времении суммарный платеж, выплачиваемый портфелем в течение промежутка времени, определяются по формулам:

, (10)

, (11)

. (12)

В соответствии с формулой (1) доходность портфеля определяется следующим образом:

. (13)

Из формул (9)-(12) следует, что

. (14)

Подставим правую часть формулы (14) в (13):

. . (15)

Обозначим через долю рыночной стоимости финансовых инструментовi–го вида в рыночной стоимости портфеля в начальный момент времени :

. (16)

Из формул (15) и (16) следует, что

. (17)

Итак, доходность инвестиционного портфеля находится с помощью доходностей входящих в него финансовых активов по формуле (17).

Пример 3. Портфель состоит из 3 акций вида и 2 акций вида. Цены акций в начале месяца были равны 60 и 80 д.е., соответственно. Доходности акций за месяц составили 3% и 4%, соответственно. Требуется найти доходность портфеля за месяц.

Решение. Итак, ,,д.е.,д.е.,,.

Рыночная стоимость портфеля в начале месяца составила:

д.е.

При этом рыночные стоимости акций видов ив портфеле равнялись:

д.е., д.е.

Доли ирыночных стоимостей акций видовив рыночной стоимости портфеля в начале месяца составляли:

, .

Найдем доходность портфеля за месяц по формуле (17).

.

Замечание 5. Из формул (10) и (16) следует, что

. (18)

Замечание 6. Поскольку и,, – известны в начальный момент времени, то, как следует из формулы (16), доли,, также известны в начальный момент времени. Следовательно, доли,, – детерминированные (т.е. не случайные) величины.

Из формулы (17) (и из того, что доли ,, – детерминированы) следует, что для ожидаемой доходности портфеляимеет место формула:

, (19)

где ,, – ожидаемая доходность финансового активаi–го вида.

Итак, ожидаемая доходность инвестиционного портфеля находится с помощью ожидаемых доходностей входящих в него финансовых активов по формуле (19).

Найдем формулу для определения дисперсии (и стандартного отклонения) доходности инвестиционного портфеля с помощью характеристик входящих в него финансовых активов.

Дисперсия доходности инвестиционного портфеля находится по формуле:

. (20)

Из формул (17) и (19) следует, что

. (21)

Подставив (21) в (20), получим:

(22)

Обозначим через ковариацию доходностей финансовых активов видови:

. (23)

Из формул (22) и (23) вытекает, что

. (24)

Из (24) следует, что стандартное отклонение доходности инвестиционного портфеля находится с помощью ковариаций доходностей финансовых активов, входящих в портфель, по формуле:

. (25)

Замечание 7. На практике вместо теоретического значения ковариации доходностей финансовых активов видовииспользуют соответствующую выборочную характеристику:

. (26)

Здесь – количество наблюдений,и,, доходности соответствующих финансовых активов в периоде(в прошлом).

Замечание 8. Поскольку (где черезимы обозначили, соответственно, дисперсию и стандартное отклонение доходности финасового активаi-го вида), формулы (24) и (25) можно записать в следующем виде:

. (27)

. (28)

Замечание 9. Коэффициент корреляции доходностей финансовых активов видов иопределяется по формуле:

. (29)

Следовательно,

. (30)

Подставив формулу (30) в (24) и (25), получим:

, (31)

. (32)