6. Моделирование процентного риска

6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций

Поскольку портфель облигаций выплачивает последовательность платежей, продолжительность портфеля облигаций находится по формуле (12) главы 2, т.е.

, (1)

где w_k – доля текущей стоимости k-го платежа портфеля в текущей стоимости портфеля, – срок выплатыk-го платежа портфеля, n – количество платежей портфеля.

Докажем, что для продолжительности портфеля облигаций справедлива формула:

, (2)

где wⁱ – доля текущей стоимости облигаций i-го вида в текущей стоимости портфеля, – продолжительность облигацииi-го вида, m – количество видов облигаций в портфеле.

Введем следующие обозначения.

–количество облигаций i-го вида в портфеле, – текущая стоимостьk-го платежа облигации i-го вида, – текущая стоимость облигацииi-го вида, – текущая стоимостьk-го платежа портфеля, – текущая стоимость портфеля,– доля текущей стоимостиk-го платежа облигации i-го вида в текущей стоимости облигации i-го вида.

Очевидно, что имеют место следующие формулы:

, ,,(3)

, ,,. (4)

С учетом формул (3)-(4), имеем

Таким образом, мы доказали формулу (2).

Пример 1. Портфель облигаций состоит из 40 облигаций первого вида и из 50 облигаций второго вида. Для облигации первого вида: номинальная стоимость – 100 д.е., годовая номинальная купонная ставка – 15%, купонный период – 1 год, до погашения облигации осталось 3 года, годовая эффективная доходность к погашению – 16%. Для облигации второго вида: номинальная стоимость – 120 д.е., годовая номинальная купонная ставка – 20%, купонный период – полугодие, до погашения облигации осталось 5 лет, годовая эффективная доходность к погашению – 18,81%.

Требуется определить продолжительность портфеля облигаций, используя в качестве ставки дисконтирования доходности самих облигаций.

Решение. Итак, д.е.,,,,,,д.е.,,,лет,,.

Для нахождения продолжительности портфеля облигаций будем использовать формулу (2).

Найдем продолжительность облигаций первого и второго вида с помощью формулы (12) главы 4: .

Поскольку для облигаций первого вида купонный период – год, то для облигаций первого вида купонная ставка и эффективная доходность для купонного периода совпадают с годовой номинальной купонной ставкой и годовой эффективной доходностью. Следовательно,

лет.

Для облигаций второго вида купонная ставка для купонного периода равна , эффективная доходность для купонного периода равна. Следовательно,

.

Найдем доли рыночных стоимостей облигаций первого и второго вида в рыночной стоимости портфеля. Для этого вначале найдем цены облигаций по формуле (6) главы 4: .

, .

Теперь мы можем найти продолжительность портфеля облигаций по формуле (2):

Выпуклость портфеля облигаций определяется по формуле (18) главы 2, т.е.

. (5)

Для выпуклости портфеля облигаций справедлива формула:

, (6)

где - выпуклость облигацииi-го вида.

Формула (5) доказывается так же само как формула (2).

6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности

Предположим, что ставка дисконтирования зависит только от вида облигации. Тогда для облигаций, входящих в портфель справедлива формула (13) главы 2: . Таким образом,

, . (7)

Из (7) следует, что

, . (8)

Легко заметить, что

. (9)

Подставим (8) в (9):

. (10)

Предположим, что не зависит от вида облигации. Тогда из (10) следует, что

. (11)

Разделив (11) на , получим:

. (12)

Итак, в случае, когда не зависит от вида облигации, для текущей стоимости портфеля облигаций имеет место формула (12).

Замечание. Если в качестве ставок дисконтирования ,, выступают доходности самих облигаций, то текущие стоимости облигаций,, равны ценам облигаций, а текущая стоимость портфеля облигацийравна рыночной стоимости портфеля облигаций.

Пример 2. Пусть в условиях примера 1 . Тогда

.

Несложно показать, что в случае, когда не зависит от вида облигации, для текущей стоимости портфеля облигаций имеет место формула:

. (13)

Формула (13) дает более точную оценку для относительного изменения текущей стоимости портфеля облигаций, чем формула (12) (поскольку формула (13) учитывает выпуклость портфеля облигаций). Доказательство формулы (13) аналогично доказательству формулы (12)