5.7. Синтетические бескупонные облигации

Часто на финансовом рынке отсутствуют бескупонные облигации заданного качества для заданного срока погашения. Тем не менее методика оценки рыночной стоимости облигаций, описанная выше, может быть использована.

В случае отсутствия бескупонных облигаций под чистыми доходностями понимаются доходности так называемых синтетических бескупонных облигаций. Синтетическая бескупонная облигация – это инвестиционная стратегия, состоящая в приобретении и продаже купонных облигаций, генерирующая только один денежный поток в будущем. Размер этого будущего денежного потока соответствует номиналу бескупонной облигации. А размер денежного потока, генерируемого инвестиционной стратегией в настоящем, (взятый со знаком «плюс») соответствует текущей цене бескупонной облигации.

Пример 11. Пусть на финансовом рынке имеются двухлетние пятипроцентные и пятнадцатипроцентные облигации с номинальными стоимостями 100 д.е. (и с купонным периодом – один год). Цены этих облигаций, соответственно, равны 91,41 д.е. и 108,93 д.е. Требуется построить однолетние и двухлетние синтетические бескупонные облигации с номинальной стоимостью 100 д.е. , найти их цены и соответствующие чистые доходности.

Решение. Пусть – количество приобретаемых (еслиположительно) либо продаваемых (еслиотрицательно) двухлетних пятипроцентных облигаций, а– количество приобретаемых (еслиположительно) либо продаваемых (еслиотрицательно) двухлетних пятнадцатипроцентных облигаций.

Очевидно, что инвестиционная стратегия генерирует в конце первого года денежный поток, равный д.е., а в конце второго года –д.е.

Для однолетней синтетической бескупонной облигации инаходятся из системы уравнений:

,

.

Решив эту систему уравнений, получим: и. Таким образом, однолетняя синтетическая бескупонная облигация состоит в продаже 11,5 двухлетних пятипроцентных облигаций и в покупке 10,5 двухлетних пятнадцатипроцентных облигаций. Цена однолетней синтетической бескупонной облигации равна:

д.е.

Теперь мы можем найти чистую доходность для одного года:

.

Для двухлетней синтетической бескупонной облигации инаходятся из системы уравнений:

,

.

Решив эту систему уравнений, получим: и. Таким образом, двухлетняя синтетическая бескупонная облигация состоит в покупке 1,5 двухлетних пятипроцентных облигаций и в продаже 0,5 двухлетней пятнадцатипроцентной облигации. Цена двухлетней синтетической бескупонной облигации равна:

д.е.

Найдем чистую доходность для двух лет:

.

Чистые доходности можно найти также из системы уравнений, в которой суммы платежей имеющихся на рынке облигаций, дисконтированных с помощью искомых чистых доходностей (соответствующих срокам платежей), приравниваются ценам облигаций. В условиях примера 11 такая система уравнений имеет вид

,

.

Решив эту систему уравнений, получим: ,.

Заметим, что значения чистых доходностей, полученные в результате решения системы уравнений, совпадают со значениями, полученными с помощью синтетических бескупонных облигаций.

Записанную выше систему уравнений (относительно и) удобно свести к системе линейных уравнений следующим образом. Введем коэффициенты дисконтированияипо формулам:,. Тогда систему уравнений можно записать в виде:

,

.

Решив эту систему уравнений относительно коэффициентов дисконтирования и, получим:,. Теперь с помощью найденных коэффициентов дисконтированияиопределим чистые доходностиииз уравнений:

, .

Получим: ,.

Используем найденные чистые доходности для дисконтирования платежей двухлетней десятипроцентной облигации (с купонным периодом – один год):

д.е.

Покажем, что полученное значение д.е. совпадает с ценой портфеля, состоящего из двухлетних пятипроцентных и пятнадцатипроцентных облигаций, имитирующего платежи данной купонной облигации.

Обозначим через количество двухлетних пятипроцентных облигаций в портфеле, а черезколичество двухлетних пятнадцатипроцентных облигаций в портфеле. Очевидно, что такой портфель генерирует в конце первого года денежный поток, равныйд.е., а в конце второго года –д.е. Поскольку денежные потоки портфеля должны совпадать с платежами данной купонной облигации, должны выполняться равенства:

,

.

Решив эту систему уравнений, получим: ,. Цена такого портфеля равна:

д.е.

Итак, цена портфеля, состоящего из двухлетних пятипроцентных и пятнадцатипроцентных облигаций, имитирующего платежи данной купонной облигации, совпадает с найденным выше значением д.е.