Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции на множестве х.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .F(x)=f(x)

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1

2 или

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Непосредственным интегрированием - метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки), при этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Интегрирование по частям - если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

Функция вида Рn(х)= aохn+a1xn-l+• • •+аn-1х+аn,

где n - натуральное число, αi (i=0,1,.., n) - постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число n называется степенью многочлена.

Корнем многочлена называется такое значение х0 (вообще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обpaщaeтcя в нуль, т. е. Рn(хо)=0.

Функция называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов :

Правильной называется рациональная дробь, если n<m

Интегрирование тригонометрических функций- замена переменной t=tg x/2, где –П<x<П

Интегрирование иррациональной функции, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

_______________________________________________________________________________________

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Геометрический смысл

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).

Формула Ньютона-Лейбница или основной формулой интегрального исчисления

Несобственным называется определённый интеграл, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: а)Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;в) Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода-несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода-несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Несобственным интегралом (интегралом первого рода) от функции f(x) на полуинтервале [а, +∞) называется предел

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится ,в противном случае -расходящимся.

Несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .

Несобственным интегралом 2 рода называется

Признаки сходимости несобственного интеграла 2 рода

Метод замены переменной

замену переменной, переход от x к новой переменной u

Интегрирование по частям

Отрезком интегрирования - отрезок[a.b] .

Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число – зависимой переменной.

Область определения функции двух переменных-область в плоскости XOY

Пусть функция f такова, что её область определения содержит целиком некоторое окончание базы b . Число L называется пределом функции f по базе b , если для любого, сколь угодно малого, числа найдётся такое окончание E базы b , что при всех выполняется неравенство . Число L обозначается тогда

Функцией двух переменных называется соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у) є D сопоставляет одно и только одно число z є R, определенной на множестве D со значениями в Е, и записывается в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у -независимые переменные (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).