1)Степенные:

D(y), E(y) зависит от ;

2) показательные:

-частный случай.

3)логарифмические:

4)тригонометрические:

5)обратные тригонометрические функции:

28.Предел ф-и на беск-ти и в точке. Одностор пр-лы.

Пусть задана ф-я y=f(x), кот опр-на на мн-ве х. Пусть - пред точка мн-ва х. Выберем на мн-ве х произв посл-ть чисел, кот не совп-т с, сход к.

Вычислим значение функции в каждой точке:

О.1(по Гейне). Число А наз-ся пред-м ф-ции у=f(x) при

(или в т-е ), если для любой сходящейся последовательности(1) соответствующая последоват-ть значений ф-ции(2) сходится к числу А.

О.2(по Коши) Число А наз пределом ф-и y=f(x) при(или в т-е), если для люб сколь угодно малого положит числасущ такое число>0, завис от, что для всех х, удовлетв нер-ву, вып-ся нер-во

или

Число А наз левостор пределом ф-и y=f(x), если вып-ся условие:

Число А наз правостор пределом ф-ции y=f(x), если вып-ся условие:

Замечание: если в качестве =0, то левосторонний предел:или;

Правосторонний:

или

29-30.Осн теоремы о пределах. Замечат пределы.

1-й замечат предел, или тригонометрич предел.

Теорема:

Док-во:

;

Очевидно:

sinx<=x<=tgx

Т.к.

; ;

Следствия из теоремы:

1.2.

Второй замечательный предел:

е-число Эйлера,

Если

31.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.

Пусть у=f(x) задана в некотором множестве х, тогда функция называется непрерывной в точке , если,x x

т. е. функция f(x) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, односторонние пределы существуют, являются конечными цифрами между собой и равны значению функции в этой точке.

Если у=f(x) непрерИвна в каждой точке множества х, то она непрерИвна на этом множестве.

Точки разрыва и их классификация.

Если условие непрерывности(*) не выполняется, то - точка разрыва.

Точки разрыва делятся на точки разрыва 1-ого рода, 2-ого рода и устранимые точки разрыва.

Точка разрыва является точкой разрыва 1-ого рода, если оба односторонние пределы в этой точке существуют, являются конечными числами, не равными между собой.

Точка разрыва является точкой разрыва 2-ого рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Точка разрыва называется устранимой, если оба односторонних предела существуют, являются конечными числами, равными между собой, но не равны значению функции в этой точке.

32. Теоремы о непрерывных функциях

1)Первая теорема Вейерштрасса

Если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема неверна, если в ней отрезок заменить интервалом (а,b) или полуинтервалом[a,b) либо (a,b]

2) Вторая теорема Вейерштрасса

Если ф-ция f(x)прерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наиб. Значения М, т.е. сущ-ют точки ,[a, b], такие, что f()=m, f(

Теорема утверж-т, что знач-я непрерыв.на отрезке [а, b] ф-ции заключены между ее наибольшими и наимен. знач-ями, т.е. m ≤ f(x) ≤M x

3) Теорема Больцано-Коши о промежут.Значении

Если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]и f(a)=A, f(b)=B (A≠B), то каково бы ни было число С, заключенное между А и В, найдется точка z [a, b], такая, что f(z)=C.

Cледствие. Если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает знач-я разных знаков, то на этом отрезке сущ-ет хотя бы одна точка , в кот. ф-ция обращается в нуль, т.е.f()=0

Алгебраич.сумма любого конечного числа непрерыв. на некот. отрезке ф-ций непрерывна на этом отрезке.

33. Осн. св-ва непрер. ф-ций: