26. Предел числовой последовательности (чп).

ЧП – это ф-ия натур аргумента x_n=f(n),где n принадлежит N.

X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.

Число а наз пределом посл-ти, если для любого малого положит числа ξ > 0 сущ такой номер N, зависящий от ξ, что для всех номеров n>N выполняется неравенство |x_n-а|< ξ.

Замечание. |x_n-а|< ξ=> а- ξ<x₁<а+ ξ, X_n- ξ<a<x_n+ ξ – ξ окрестности т.а

Если число а-предел ЧП(1), то все члены посл-ти, начиная с некот номера N, попадают в ξ-окрестность т.а.Чем больше N,тем ниже а.

Если а-предел числ. послед-ти(1), то пишут: lim x_n=a или x_n→a, n→∞

Свойства числ. последовательности:

1.Если ЧП с общ членом x_n имеет предел, то она наз сходящейся.Всякая сход посл-ть огран, т.е. сущ M>0, что все члены этой П по модулю не превосх это число. |x_n |<М

2. Пусть заданы 3 П, x_n, y_n, z_n-общие члены. Причем lim x_n= lim z_n=а и выполняется неравенство: x_n ≤y_n≤z_n, то lim y_n=а.

3. Пусть послед. x_n, y_n имеют конечные пределы lim x_n=а lim y_n=в -∞<а,в<+∞. Тогда:

1. lim(x_n±y_n)= limx_n ± lim y_n)-справ для люб кон числа П

2. lim(x_n*y_n)= limx_n*limy_n

3. lim(Cx_n)=C limCx_n=C*a.

4. lim==, b≠0.

Посл α_n наз бескон малой, если ее предел = 0, т.е. limα_n=0

Послед. β_n наз бесконечно большой, если ее предел = ∞.

Утверждение.Если послед. α_n-беск. малая, то послед. - беск. большая и наоборот.

В курсах матанализа док-ся, что П {Хn}=монот и огранич.По теореме: для того, чтобы монот сходилась, необхмо и достаточно, чтобы она была огранич. След-но, эта П имеет предел. Он обозначается буквой е: е=lim, причем е=2,718.

27.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.

Рассм мн-во Х, сост из эл-ов х, и мн-во У, сост из эл-ов у. Если кажд Эл-ту х из Х по опред правилу f поставлен в соответствие единств эл-т f(x) из У, то гов-т, что на мн-ве Х задана ф-я y=f(x) со знач-ми в мн-ве У; пишут также:f:ХУ или хf(x). При этом у наз завис перем-й, х-незав перем-й (или арг-м). Мн-во Х наз обл-тью опред-я(или сущ-я) ф-ии.

Пусть на некот мн. Х опр-на ф-я f(x), тогда знач-е этой ф-и, соответствующее некот знач-ю арг-та , обозн-ся. Например,f(x)=, то f(2)=8, f(-2)=-8.

Ф-я у=f(x) наз неубыв (невозраст) на мн-ве Х, если для люб , удовлетв усл-ю, справ-во нер-воНеубыв и невозраст ф-и наз монотонными.

Если для люб , удовлетв усл-ю, справ-во нер-во, то ф-яy=f(x) наз возраст (убыв) на мн-ве Х. Возраст и убыв ф-и наз строго монотонными.

Ф-я, все знач-я кот = между собой, наз пост-й. Ф-я, опред на мнве Х, наз огранич на этом мн-ве, если найдется число М>0, такое, что Напр, ф-яy=sinx огран на всей числовой прямой, т.к.для любого х.

На пл-ти ф-я изобр-ся в виде графика-мн-ва точек (х,у), корд-ы кот связаны соотношением y=f(x), наз ур-м гр-ка.

Ф-ия наз сложной, если ее арг-т в свою очередь явл ф-ей др переем-й, т.е. если на некот мн-ве Х опред-на ф-я с мн-ом значенийZ, а на мн-ве Z опред-на ф-я y=f(z), то наз сложной ф-ей от х, а переменнаяz-промежут переменной сложной ф-ии. Прим-ся также и др названия: композиция ф-й иf, суперпозиция ф-й иf. Напр, ф-я y=sin3x-сложная ф-я, опред на всей числ прямой, т.к. y=f(z)=sinz, z=(x)=3x.

Пусть ф-я y=f(x) задана на мн-ве Х=, а У=-мн-во ее знач-й. Тогда кажд хХ по з-нуf став-ся в соответствие единств значение уУ. С др стороны, кажд уУ будет соотв-ть одно или несколько значений хХ. В случае, когда кажд зн-ю уУ соотв-т только 1 зн-е хХ, для котf(x)=y, на мн-ве У можно опред ф-ю х=(у), мн-ом значений кот явл мн-во Х.

Эту ф-ю наз обр по отношению к ф-и y=f(x).

Эти функции называются взаимнообратными.

Из опред-я обр ф-и следует, что мн-во зн-й У ф-и f явл обл-ю опред-я обр ф-и , а обл опред-я Х ф-и f-мн-вом знач обр функціі .

Ф-и, получ посредством кон числа арифмет действий над простейшими элемент ф-ми, а также путем суперпозиции этих функций, составляют класс элементарных функций.

Существует 5 классов элементарных функций: