11. Системы линейных однородных уравнений.

AX=B; B=0

Теорема 1. ОСЛАУ всегда совместна, т.к. она всегда имеет как минимум тривиальные решения. Интерес представляют ОСЛАУ, которые имеют нетривиальные решения.

Док-во: Пусть задана X=(0;0;…;0) – нулевая матрица-столбец, причём основная матрица А – квадратная. Тогда если detA≠0, то ОСЛАУ имеет тривиальное решение.

Теорема 2. Задана матрица А размерности m*n, число уравнений которой не равно числу неизвестных,то если r(A) = n,следовательно, ОСЛАУ имеет только тривиальное решение; если r(A)<n, то ОСЛАУ имеет бесконечное множество решений.

Если ОСЛАУ имеет бесконечное множество решений, то их можно найти, например, методом Гаусса.

12.Вектор на плоскости и в простр-ве. Лин опер-и над в-ми, их св-ва. Базис на пл-ти и в простр-ве. Ортонормированный базис.

Вектор- направленный отрезок.(для двухмерного пространствадля трехмерного АВ=(x,y,z))

Линейные операции над векторами:1.умножение на число ,2.сумма векторовнаходится по правилу треугольника(в конце одного вектора надо построить другой,и тогда вектор,соединяющий начало первого с концом второго,будет их суммой) или по правилу параллелограмма(сумма 2-х векторов,отнесенных к общему началу,является диагональ построенного на этих векторах параллелограмма,выходящая из их общего начала) Св-ва:

1.коммутативный закон a+b=b+a

2.ассоциативный закон относительно умножения чисел (a+b)+c=a+(b+c)

3.Ассоциативный закон относительно умножения чисел

4. Дистрибутивный закон относительно сложения векторов ,отн-но сложения чисел

5.сущ-ние нулевого элемента

6.сущ-ние противоположного элемента

7.

8. Базисомn-мерного пространства наз-ся любая совокупность n-лин. Независимых векторов n-мерного пространства.

Ортонормированный базис-это базис,в котором длины векторов базиса равны единице.

12а. N-мерное вект простр-во.

n-мерное вект пространство-совокупность всех n-мерных векторов,рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения и умножения на число,подчиняющимися законам билет№13. Если координаты векторов- вещественные числа,то пространство называют арифметическим. Скалярным произведением двух векторовиназывается число, равное сумме произведений соответствующих координат этих вект ,т.е.. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда,когда векторы неортогональны.Длина вектораравна

13-14.Лин зав-ть n-векторов. Ранг. Базис.

Система векторов (1.1)наз линейно зависимой, если сущ такие числа, из кот хотя бы одно отлично от нуля,чтоЕсли среди векторов системы есть нулевой вектор,то система линейно зависима.

Теорема : для того чтобы система (1.1) была линейно зависимой,необходимо идостаточно,чтобы хотя бы один из векторов линейно выражался через остальные.

Базисом данной системы векторов называют такую подсистему,векторы которой линейно независимы ,а любой другой вектор системы является их линейное комбинацией.

Ранг системы есть максимальное число линейно незавасимых векторов системы.Система ,состоящая более чем из n-мерных векторов,линейно зависима.Набор любых n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом этого пространства.